ファインマン図の対称因子と連結図

摂動展開の各次数でファインマン図を列挙し、頂点因子 $\frac{λ}{4 !}$ などと縮約の数から対称因子（例: φ⁴ の 8 の字図 $\frac{1}{8}$ 、2 頂点の真空図 $\frac{1}{48}$ と $\frac{1}{16}$ ）を求め、 $lo g Z$ が連結図だけの和になることを使って係数を決められる

前提

ウィックの定理と縮約の数え上げ（大学院物理場の量子論）

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算数中学高校大学大学院

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ウィックの定理と縮約の数え上げ（大学院物理場の量子論）

説明

相互作用のある理論の分配関数 $Z$ や相関関数を結合定数で摂動展開すると、各次数の項はウィックの定理でたくさんの縮約の和になります。縮約を「どの頂点とどの頂点が何本の線でつながるか」という図（ファインマン図）ごとにまとめると、各図の係数は (頂点因子) $^{n}$ を「対称因子」 $S$ で割ったものになります。この技能では図を列挙して $S$ を求め、さらに $lo g Z$ が連結な図だけの和になることを使って、真空エネルギーなどの係数を手早く正しく決められるようにします。

なぜそうしてよいのか

仕組みが一番見やすいのは、場の代わりに 1 変数 $x$ をとった「0 次元の場の理論」 $Z (λ) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{λ}{4 !} x^{4}}$ です（伝播関数は $⟨ x^{2} ⟩_{0} = 1$ ）。指数関数を展開すると $Z = \sum_{n} \frac{1}{n !} (- \frac{λ}{4 !})^{n} ⟨(x^{4})^{n} ⟩_{0}$ で、 $n$ 個の頂点それぞれに 4 本の「足」があり、 $4 n$ 本の足をウィックの定理で対にしていきます。ある図 $Γ$ を与える縮約の数を $N_{Γ}$ とすると、その図の寄与は $\frac{N _{Γ}}{n ! ( 4 ! ) ^{n}} (- λ)^{n}$ です。頂点の入れ替え（ $n!$ 通り）と各頂点の足の入れ替え（ $(4!)^{n}$ 通り）は、ふつうは異なる縮約を同じ図に写しますが、図を変えない入れ替え（図の自己同型）の分だけ重複して数えすぎになります。その個数が対称因子 $S$ で、 $N_{Γ} = \frac{n ! ( 4 ! ) ^{n}}{S}$ 、つまり図の係数は $\frac{( - λ ) ^{n}}{S}$ です（場の理論では各頂点の積分と伝播関数の積が掛かるだけで、数え方は同じです）。たとえば 1 頂点の 8 の字図では $⟨ x^{4} ⟩_{0} = 3$ なので $\frac{3}{4 !} = \frac{1}{8}$ 、 $S = 8$ （2 つのループをそれぞれ裏返す $2 \times 2$ と、2 つのループの入れ替え $2$ ）です。

次に連結図との関係です。ある真空図が連結な図 $C_{1}, C_{2}, \dots$ をそれぞれ $k_{1}, k_{2}, \dots$ 個ずつ含むとします。 $n = \sum_{i} k_{i} n_{i}$ 個の頂点を各成分に割り振る仕方は $\frac{n !}{\prod _{i} ( n _{i} ! ) ^{k_{i}} k _{i} !}$ 通りで（同じ形の成分どうしの入れ替えで同じ割り振りになるので $k_{i}!$ で割る）、これと $\frac{1}{n !}$ を合わせると、図全体の寄与は $\prod_{i} \frac{1}{k _{i} !} c_{i}^{k_{i}}$ になります（ $c_{i}$ は連結図 $C_{i}$ 単独の値）。すべての $k_{i}$ について足すと $Z = \prod_{i} \sum_{k_{i}} \frac{c _{i}^{k_{i}}}{k _{i} !} = exp (\sum_{i} c_{i})$ 、すなわち $lo g Z = \sum (連結な真空図)$ です。したがって $lo g Z$ の係数を求めるには、連結図だけを列挙して $\frac{1}{S}$ を足せばよく、非連結図は $Z$ を展開したときに自動的に再現されます。

手順

求める次数 $n$ を決め、 $n$ 個の頂点（各頂点に $ϕ^{4}$ なら 4 本の足）と外線を用意する。 $lo g Z$ を求めるときは連結な図だけを考える。
その次数で現れる図の形をすべて列挙する（どの頂点間に何本の線があるか、自己ループがいくつあるか）。
各図について、それを与える縮約の数 $N_{Γ}$ を数え、 $S = \frac{n ! ( 4 ! ) ^{n}}{N _{Γ}}$ を求める（または図を変えない頂点・線の入れ替えの数として $S$ を直接数える）。
（任意）すべての図（非連結も含む）の $N_{Γ}$ の合計が、ウィックの定理の総数 $(4 n - 1)!!$ に一致することを確かめる。
各図の寄与 $\frac{( 頂点因子の分子 ) ^{n}}{S} \times (伝播関数・積分)$ を足し合わせる。頂点因子の符号（ $- λ$ や $- iλ$ ）を忘れない。

例題

0 次元の $ϕ^{4}$ 理論
$Z (λ) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} d x exp (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{λ}{4 !} x^{4})$
を $λ$ で形式的に展開する。 $lo g Z (λ) = a_{1} λ + a_{2} λ^{2} + O (λ^{3})$ と書いたときの $a_{2}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $λ^{2}$ の項なので頂点 2 個（各 4 本の足）。 $lo g Z$ なので連結な真空図だけを考える。伝播関数は $⟨ x^{2} ⟩_{0} = 1$ 、頂点因子は $- \frac{λ}{4 !}$ 。

手順 2: 2 頂点の連結な真空図は 2 種類。(A) 2 つの頂点を 4 本の線でつなぐ図、(B) 各頂点に自己ループが 1 つあり、頂点間を 2 本の線でつなぐ図。

手順 3: (A) 頂点 1 の 4 本の足を頂点 2 の 4 本の足と 1 対 1 に結ぶので $N_{A} = 4! = 24$ 、 $S_{A} = \frac{2 ! ( 4 ! ) ^{2}}{24} = 48$ 。(B) 頂点 1 で自己ループにする 2 本を選ぶ $_{4} C_{2} = 6$ 通り、頂点 2 でも 6 通り、残る 2 本ずつを結ぶのが 2 通りで $N_{B} = 72$ 、 $S_{B} = \frac{1152}{72} = 16$ 。

手順 4: 非連結な図（8 の字図 2 つ）は $N = 3 \times 3 = 9$ 。 $24 + 72 + 9 = 105 = 7!!$ で総数に一致する。

手順 5: 頂点因子の分子は $(- λ)^{2} = λ^{2}$ 、伝播関数はすべて 1 なので
$a_{2} = \frac{1}{48} + \frac{1}{16} = \frac{1}{12} .$
（確認: $Z = 1 - \frac{λ}{8} + \frac{105}{1152} λ^{2} + \dots$ より $lo g Z$ の $λ^{2}$ の係数は $\frac{35}{384} - \frac{1}{2} (\frac{1}{8})^{2} = \frac{35 - 3}{384} = \frac{1}{12}$ で一致する。）

答え: $\frac{1}{12}$

よくある誤り

頂点因子の $\frac{1}{4 !}$ がそのまま残ると考えて 8 の字図の係数を $\frac{1}{24}$ としてしまう誤り。足の縮約が $⟨ x^{4} ⟩_{0} = 3$ 通りあるので、正しくは $\frac{3}{4 !} = \frac{1}{8}$ （ $S = 8$ ）。
$lo g Z$ の係数を求めるのに非連結図まで足し、 $λ^{2}$ の係数を $\frac{1}{48} + \frac{1}{16} + \frac{1}{128} = \frac{35}{384}$ としてしまう誤り。 $\frac{35}{384}$ は $Z$ の係数で、 $lo g Z$ では連結図だけを足して $\frac{1}{48} + \frac{1}{16} = \frac{1}{12}$ 。
テイラー展開の $\frac{1}{n !}$ を落として、2 頂点の図 (A) の係数を $\frac{4 !}{( 4 ! ) ^{2}} = \frac{1}{24}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{4 !}{2 ! ( 4 ! ) ^{2}} = \frac{1}{48}$ （2 つの頂点の入れ替えも図を変えないので $S$ に 2 が入る）。
頂点因子の符号を落として $lo g Z$ の 1 次の係数を $a_{1} = + \frac{1}{8}$ としてしまう誤り。頂点因子は $- \frac{λ}{4 !}$ なので、正しくは $a_{1} = - \frac{1}{8}$ （ミンコフスキー形式なら頂点因子は $- \frac{iλ}{4 !}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
0 次元の場の理論（ただ 1 つの実変数 $ϕ$ の積分）として
$Z (g) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} d ϕ exp (- \frac{1}{2} ϕ^{2} - \frac{g}{3 !} ϕ^{3})$
を考える。 $g$ は実数の結合定数で、 $Z (g)$ は $g$ の形式的なべき級数として展開するものとする（伝播関数は $⟨ ϕϕ ⟩_{0} = 1$ 、頂点因子は $- \frac{g}{3 !}$ ）。
$g^{2}$ の次数のファインマン図（2 頂点の真空図）を列挙して対称因子を求め、連結図の和として
$lo g Z (g) = c g^{2} + O (g^{4})$
と書いたときの係数 $c$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$d$ 次元ユークリッド空間上の $N$ 成分実スカラー場 $ϕ_{a} (x)$ $(a = 1, \dots, N)$ を考える。作用は
$S = \int d^{d} x [\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{a} \partial_{μ} ϕ_{a} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{a} ϕ_{a} + \frac{λ}{8} (ϕ_{a} ϕ_{a})^{2}]$
であり、繰り返す添字については和をとる。 $S_{0}$ を $λ = 0$ の自由部分、 $S_{I} = \frac{λ}{8} \int d^{d} x (ϕ_{a} ϕ_{a})^{2}$ を相互作用部分とし、分配関数を $Z = \int D ϕ e^{- S}$ 、 $Z_{0} = \int D ϕ e^{- S_{0}}$ とする。自由場の伝播関数を
$⟨ ϕ_{a} (x) ϕ_{b} (y) ⟩_{0} = δ_{ab} G (x - y)$
とし、 $G (0)$ は適当な正則化のもとで有限な定数として形式的に扱う（その値は求めなくてよい）。
ウィックの定理を用いて $lo g (Z / Z_{0})$ を $λ$ で展開したとき、その $λ^{2}$ の項は
$λ^{2} [c_{1} \int d^{d} x d^{d} y G (x - y)^{4} + c_{2} G (0)^{2} \int d^{d} x d^{d} y G (x - y)^{2}]$
の形に書ける。係数 $c_{1}, c_{2}$ を $N$ の式で求め、組 $(c_{1}, c_{2})$ の形で答えよ。

この技能の次に学べること

ファインマン則と樹木図の散乱振幅（大学院物理場の量子論）
表面的発散次数と繰り込み可能性（大学院物理場の量子論）