ルジャンドル変換とハミルトニアン

ラグランジアンから一般化運動量を求めてルジャンドル変換 $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ を行い、 $q ˙_{i}$ を消去してハミルトニアンを正準変数 $(q, p)$ の関数として書ける（回転系の玉のように $H$ が力学的エネルギーと一致しない場合も含む）

前提

一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）

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算数中学高校大学大学院

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速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）

説明

ラグランジアン $L (q, q ˙, t)$ は座標 $q_{i}$ と速さ $q ˙_{i}$ の関数ですが、解析力学では座標 $q_{i}$ と一般化運動量 $p_{i}$ の組（正準変数）を基本の変数にとり直すことがよくあります。この技能では、一般化運動量 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を求め、ルジャンドル変換 $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ を計算し、 $q ˙_{i}$ を $p_{i}$ で表して消去することで、ハミルトニアン $H (q, p, t)$ を書けるようにします。多くの系では $H$ は力学的エネルギーと一致しますが、回転させられている棒の上の玉のように一致しない場合もあり、そうした場合も含めて正しく計算できるようにします。

なぜそうしてよいのか

ルジャンドル変換は、関数の変数を「その関数の偏導関数」にとりかえる操作です。 $L$ の全微分は
$d L = i \sum (\frac{\partial L}{\partial q _{i}} d q_{i} + p_{i} d q ˙_{i}) + \frac{\partial L}{\partial t} d t$
です。ここで $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ とおくと、積の微分より $d (\sum_{i} p_{i} q ˙_{i}) = \sum_{i} (q ˙_{i} d p_{i} + p_{i} d q ˙_{i})$ なので
$d H = i \sum (q ˙_{i} d p_{i} - \frac{\partial L}{\partial q _{i}} d q_{i}) - \frac{\partial L}{\partial t} d t$
となり、 $d q ˙_{i}$ の項がちょうど打ち消し合います。つまり $H$ は $q ˙_{i}$ ではなく $q_{i}, p_{i}, t$ の変化だけで変わる量であり、 $q, p, t$ の関数として書くのが自然です。この式から $\frac{\partial H}{\partial p _{i}} = q ˙_{i}$ も読み取れます。

そのために、 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ の式を $q ˙_{i}$ について解き（ $q ˙_{i}$ を $q, p$ で表し）、 $\sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ に代入して $q ˙_{i}$ をすべて消去します。 $q ˙_{i}$ が残っていると、 $q, p$ の関数としての $H$ にはなっていません。

$T$ が $q ˙_{i}$ の 2 次式だけでできていて $V$ が速さによらなければ $\sum_{i} p_{i} q ˙_{i} = 2 T$ なので $H = 2 T - (T - V) = T + V$ です。しかし、拘束が時間とともに動く（棒を決まった角速度で回し続けるなど）と、地面に対する運動エネルギーに $q ˙$ の 1 次や 0 次の項が入り、 $H$ は力学的エネルギーとは異なる量になります。そのような場合も、定義 $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ どおりに計算すれば正しい $H$ が得られます。

手順

一般化座標 $q_{i}$ を選び、地面（慣性系）に対する速度で $T$ を書いて $L = T - V$ をつくる
一般化運動量 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を計算する
$p_{i}$ の式を $q ˙_{i}$ について解き、 $q ˙_{i}$ を $q, p$ で表す
$H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ に代入して $q ˙_{i}$ を消去し、 $q, p$ （と $t$ ）だけの式に整理する
必要なら $H$ と力学的エネルギー $T + V$ を比べ、一致するかどうかを確かめる

例題

水平面内にある細い棒が、その一端を通る鉛直な軸のまわりに、外部の装置によって一定の角速度 $Ω$ で回転させられている。棒に通した質量 $m$ の小さな玉は、棒に沿ってなめらかに動ける。軸から玉までの距離 $r$ を一般化座標とし、 $r$ に共役な一般化運動量を $p$ とする。玉は質点とみなし、重力は棒からの力とつり合っていて運動に関係しない。この系のハミルトニアンを $r, p, m, Ω$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 玉は平面の極座標で $(r, Ω t)$ の位置にあるので、地面に対する速さの 2 乗は $r ˙^{2} + r^{2} Ω^{2}$ です。高さは変わらないので $V$ は定数として省きます。
$L = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} Ω^{2})$

手順 2: $p = \frac{\partial L}{\partial r ˙} = m r ˙$

手順 3: $r ˙ = \frac{p}{m}$

手順 4:
$H = p r ˙ - L = p \cdot \frac{p}{m} - \frac{1}{2} m (\frac{p ^{2}}{m ^{2}} + r^{2} Ω^{2}) = \frac{p ^{2}}{2 m} - \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$

手順 5: 玉の力学的エネルギーは $T = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} Ω^{2}) = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$ で、 $H$ とは $r^{2}$ の項の符号が異なります。棒を回し続ける装置が玉に仕事をするので、力学的エネルギーは保存しませんが、 $L$ は $t$ をあらわに含まないので $H$ は保存します。

答え: $\frac{p ^{2}}{2 m} - \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$

よくある誤り

$q ˙_{i}$ を消去せずに $H = \frac{1}{2} m r ˙^{2} - \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$ のまま答えてしまう誤り。ハミルトニアンは正準変数 $(q, p)$ の関数なので、 $r ˙ = \frac{p}{m}$ を代入して $H = \frac{p ^{2}}{2 m} - \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$ と書く
ハミルトニアンはいつも力学的エネルギー $T + V$ だと考え、例題で $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m Ω^{2} r^{2}$ としてしまう誤り。 $H = T + V$ となるのは $T$ が $q ˙_{i}$ の 2 次式だけでできているときに限り、拘束が時間とともに動く系では定義 $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ どおりに計算する
ルジャンドル変換の符号を逆にして $H = L - \sum_{i} p_{i} q ˙_{i}$ としてしまう誤り。正しくは $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L$ で、 $L = \frac{1}{2} m x ˙^{2} - V (x)$ なら $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + V (x)$ となる
一般化運動量を「質量 × 地面に対する速さ」と考えて、例題で $p = m r ˙^{2} + r^{2} Ω^{2}$ のようにしてしまう誤り。正しくは定義どおり $p = \frac{\partial L}{\partial r ˙} = m r ˙$ 。交差項がある場合（例: $L = \frac{1}{2} (M + m) X ˙^{2} + m X ˙ s ˙ cos θ + \frac{1}{2} m s ˙^{2}$ ）は、 $p_{X}$ , $p_{s}$ の 2 式を連立して $X ˙$ , $s ˙$ について解いてから代入する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平面内で、細くまっすぐな棒が一端 O を通る鉛直軸のまわりに一定の角速度 $ω$ （ $ω > 0$ ）で回転している。この棒に質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は棒に沿ってなめらかに（摩擦なく）動く。O から玉までの距離を $r$ とすると、玉のラグランジアンは
$L = \frac{m}{2} (r ˙^{2} + r^{2} ω^{2})$
である（重力は鉛直方向にはたらき、玉の運動には寄与しない）。 $r$ に共役な一般化運動量を $p$ とするとき、ルジャンドル変換によってハミルトニアン $H$ を $r$ , $p$ , $m$ , $ω$ で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

正準方程式（大学物理解析力学）
自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）