固定軸のまわりの回転と転がり運動

固定軸のまわりの回転の運動方程式 $I ω ˙ = N$ と、重心の並進運動 $M v ˙_{G} = F$ を組み合わせ、すべらない条件 $v_{G} = R ω$ のもとで転がる剛体の加速度・摩擦力や、回転の運動エネルギー $\frac{1}{2} I ω^{2}$ を含むエネルギー保存から速さを求められる

前提

慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

円柱や球が斜面を転がり落ちるときのように、剛体が「重心が動きながら回る」運動を、重心の並進の運動方程式 $M v ˙_{G} = F$ と、重心を通る軸のまわりの回転の運動方程式 $I_{G} ω ˙ = N$ の 2 本に分けて扱えるようになります。すべらずに転がる場合は、この 2 本を条件 $v_{G} = R ω$ でつなぐと、加速度や摩擦力が決まります。また、回転の運動エネルギー $\frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ を含めたエネルギー保存から、ある高さまで転がったときの速さを求められます。

なぜそうしてよいのか

固定軸のまわりに回る剛体では、各部分の速さは $r_{⊥} ω$ （ $r_{⊥}$ は軸からの距離）なので、角運動量の軸方向成分は $\sum m_{i} r_{⊥ i}^{2} ω = I ω$ となります。これを $\frac{d L}{d t} = N$ に入れると $I ω ˙ = N$ （ $N$ はその軸のまわりの外力のモーメント）が得られます。同じく運動エネルギーは $\sum \frac{1}{2} m_{i} (r_{⊥ i} ω)^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ です。

転がる剛体では軸（重心）自体が動きますが、重心に乗って見ると、物体は重心を通る軸のまわりに回っているだけに見えます。重心とともに加速する立場では各部分に $- m_{i} a_{G}$ の見かけの力がはたらきますが、これは重力と同じく「質量に比例して一様にはたらく力」なので、その合力は重心にはたらき、重心のまわりのモーメントは 0 です。そのため、重心を通る軸のまわりなら、軸が加速していても $I_{G} ω ˙ = N_{G}$ （ $N_{G}$ は重心のまわりの外力のモーメント）がそのまま成り立ちます。重心そのものの運動は、外力の和 $F$ で $M v ˙_{G} = F$ と決まります。運動エネルギーも「重心の並進」と「重心のまわりの回転」に分かれ、 $K = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ です。

すべらずに転がるとは、床に接している点の速度が 0 ということです。接点の速度は「重心の速度 $v_{G}$ 」と「重心のまわりの回転による速度（接点では後ろ向きに $R ω$ ）」の和なので、 $v_{G} - R ω = 0$ 、つまり $v_{G} = R ω$ 、時間で微分して $a_{G} = R ω ˙$ です。このとき摩擦力は静止摩擦力で、大きさは運動方程式から決まります（ $μ N$ ではありません）。また力がはたらく接点が動かないので、摩擦力は仕事をせず、重力だけが仕事をするなら $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2} + M g h$ が一定に保たれます。

手順

物体にはたらく力（重力・垂直抗力・摩擦力など）を図に描き、並進の正の向きと、それに対応する回転の正の向き（ $v_{G} = R ω$ が正どうしで成り立つ向き）を決める。摩擦力の向きは仮に決めてよい
重心の並進の運動方程式を書く: $M a_{G} = (外力の和)$
重心を通る軸のまわりの回転の運動方程式を書く: $I_{G} ω ˙ = (重心のまわりの外力のモーメント)$ 。重心にはたらく重力のモーメントは 0
すべらない条件 $a_{G} = R ω ˙$ を使って連立方程式を解き、 $a_{G}$ と摩擦力を求める（摩擦力が負なら仮の向きと逆）
速さを求めるときは、エネルギー保存 $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2} + M g h = 一定$ に $ω = v_{G} / R$ を代入して解く

例題

質量 $M$ 、半径 $R$ の一様な球（重心を通る軸のまわりの慣性モーメント $I_{G} = \frac{2}{5} M R^{2}$ ）が、水平面となす角 $θ$ の粗い斜面をすべらずに転がり落ちている。重力加速度の大きさを $g$ とする。球の重心の加速度の大きさ $a$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】斜面に沿って下向きを並進の正の向き、それに対応して球が転がり落ちる向きを回転の正の向きとする。球には重力 $M g$ 、垂直抗力、接点で斜面に沿って上向きの静止摩擦力 $f$ （仮の向き）がはたらく。

【手順 2】斜面方向の並進: $M a = M g sin θ - f$ 。

【手順 3】重心のまわりの回転: 重力と垂直抗力は重心を通る直線上にあるのでモーメントは 0、摩擦力のモーメントは $f R$ なので $\frac{2}{5} M R^{2} ω ˙ = f R$ 。

【手順 4】すべらない条件 $a = R ω ˙$ より $ω ˙ = a / R$ 。手順 3 に代入して $f = \frac{2}{5} M a$ 。これを手順 2 に代入すると
$M a = M g sin θ - \frac{2}{5} M a ⟹ a = \frac{5}{7} g sin θ$
なお $f = \frac{2}{7} M g sin θ > 0$ なので、摩擦力は仮定どおり斜面に沿って上向き。

答え: $\frac{5}{7} g sin θ$

よくある誤り

すべらずに転がるときの摩擦力を $f = μ N$ （または動摩擦力 $μ^{'} N$ ）としてしまう誤り。正しくは静止摩擦力で、大きさは運動方程式と $a_{G} = R ω ˙$ から決まる（上の例では $f = \frac{2}{7} M g sin θ$ ）。 $μ N$ はその上限で、 $f \leq μ N$ が成り立つときだけすべらない
エネルギー保存で回転の運動エネルギーを落とし $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} = M g h$ から $v_{G} = 2 g h$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2} = M g h$ で、球なら $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} (1 + \frac{2}{5}) = M g h$ より $v_{G} = \frac{10}{7} g h$
接点のまわりの慣性モーメント $I_{G} + M R^{2}$ を使った回転エネルギーに、さらに $\frac{1}{2} M v_{G}^{2}$ を加えてしまう誤り。接点のまわりの回転とみなすなら $K = \frac{1}{2} (I_{G} + M R^{2}) ω^{2}$ だけで、これは $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ と等しい。並進の分を二重に数えない
転がり運動では摩擦力が仕事をするので力学的エネルギーは保存しない、としてしまう誤り。すべらないときは摩擦力がはたらく接点の速度が 0 なので仕事は 0 で、重力だけが仕事をすれば $\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2} + M g h$ は一定。保存しないのはすべりながら転がる場合

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平面と角 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）をなす粗い斜面上に、質量 $M$ 、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M R^{2}$ ）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。
円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、 $g$ , $θ$ を用いて表せ。ただし、 $g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。
$M, R$ $θ$
斜面上の薄い円筒（中心軸は紙面に垂直）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）