力学（質点・剛体）の問題

質量 $m$、長さ $a$ の一様な細い棒 3 本の端どうしを固定して、正三角形の枠 $\mathrm{OAB}$ をつくった。枠の頂点 $\mathrm{O}$ を通り、枠の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、枠が鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できるようにする。枠を、つりあいの位置（$\mathrm{O}$ の真下に辺 $\mathrm{AB}$ が水平にくる位置）から鉛直面内でわずかに傾けてはなすと、枠は微小な振動をする。

この微小振動の周期を、$a$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さ、つなぎ目の質量、空気抵抗は無視する。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

なめらかな水平な台に小さな穴 $\mathrm{O}$ があいている。軽くて伸びない糸を穴に通し、台の上の端に質量 $m$ の小物体 $\mathrm{P}$ を、台の下にたらした端に質量 $2m$ のおもりをつける。おもりは鉛直線上だけを運動するものとする。

はじめ、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置にあり、糸はぴんと張っている。この瞬間、おもりは静止しており、$\mathrm{P}$ には糸に垂直な水平方向の初速度（大きさ $v_0$）を与えた。その後、$\mathrm{P}$ は台の上を運動し、$\mathrm{O}$ からの距離は $r_0$ と $2r_0$ のあいだで増減をくり返した。

$v_0$ を $g$, $r_0$ で表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台・穴と糸のあいだの摩擦や空気抵抗は無視する。糸は運動のあいだたるまず、$\mathrm{P}$ が穴に達することや、おもりが台に当たることはないものとする。