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力学（質点・剛体）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理力学（質点・剛体）

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $ω$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $O$ 、玉の位置を $P$ とし、 $OP$ が鉛直下向きとなす角を $θ$ とする。 $ω^{2} > \frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たすものについて、 $cos θ$ を $g$ , $R$ , $ω$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

O

P

R

ω

θ

鉛直な直径を軸に回転する輪

この問題で使うもの

回転座標系と遠心力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

輪とともに回転する座標系で考え、重力・垂直抗力・遠心力のつり合いを考える。

ヒント 2

針金はなめらかなので、垂直抗力は接線方向の成分をもたない。接線方向の力のつり合いだけを考えればよい。回転軸からの距離は $R sin θ$ 。

ヒント 3

接線方向のつり合いは $m R ω^{2} sin θ cos θ - m g sin θ = 0$ となる。

答えと解説

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\frac{g}{R ω ^{2}}

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解説を読む

輪とともに角速度 $ω$ で回転する座標系で考える。この座標系では、玉に重力 $m g$ （鉛直下向き）、針金からの垂直抗力 $N$ （針金に垂直）に加えて、見かけの力として遠心力がはたらく。玉は回転系で静止しているので、コリオリ力 $- 2 m ω \times v^{'}$ は $v^{'} = 0$ より $0$ である。

玉の回転軸からの距離は $R sin θ$ なので、遠心力は回転軸から外向き（水平）に大きさ $m R ω^{2} sin θ$ である。

針金はなめらかなので、垂直抗力は針金の接線方向の成分をもたない。そこで針金の接線方向（ $θ$ が増える向き）の力のつり合いを考える。 $θ$ が増える向きの単位ベクトルは、水平外向きの成分 $cos θ$ 、鉛直上向きの成分 $sin θ$ をもつので
$m R ω^{2} sin θ \cdot cos θ - m g sin θ = 0.$
したがって
$sin θ (R ω^{2} cos θ - g) = 0.$
$0 < θ < \frac{π}{2}$ では $sin θ \neq = 0$ なので
$cos θ = \frac{g}{R ω ^{2}} .$
$ω^{2} > g / R$ より $0 < \frac{g}{R ω ^{2}} < 1$ なので、条件を満たす $θ$ がただ 1 つ存在する。

別解

輪とともに回転する座標系で考える。玉には重力 $m g$ （鉛直下向き）、遠心力 $m ω^{2} R sin θ$ （回転軸から遠ざかる向き）、針金からの垂直抗力がはたらく。垂直抗力は針金の接線方向の成分を持たないので、接線方向（ $θ$ が増える向き）のつりあいを考える。

重力の接線成分は $- m g sin θ$ 、遠心力の接線成分は $m ω^{2} R sin θ cos θ$ である。したがって
$m ω^{2} R sin θ cos θ - m g sin θ = 0$
$sin θ (ω^{2} R cos θ - g) = 0$
$0 < θ < π /2$ では $sin θ \neq = 0$ なので $cos θ = \frac{g}{R ω ^{2}}$ 。

$ω^{2} > g / R$ のとき $0 < \frac{g}{R ω ^{2}} < 1$ なので、この $θ$ は $0 < θ < π /2$ の範囲に存在する。

検算（エネルギー法）: 有効ポテンシャル $U (θ) = - m g R cos θ - \frac{1}{2} m ω^{2} R^{2} sin^{2} θ$ より $U^{'} (θ) = m g R sin θ - m ω^{2} R^{2} sin θ cos θ = 0$ となり、同じ結果を得る。

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