力学（質点・剛体）の問題

内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。

このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。$a$, $\omega$, $g$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

細くてまっすぐなパイプが水平に置かれ、鉛直な固定軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で水平面内を回転している。パイプは回転軸と点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わっている。パイプの中には質量 $m$ の小球が入っており、小球はパイプにそってなめらかに（摩擦なく）動ける。小球の大きさは無視でき、パイプは十分に長いものとする。

はじめ、小球は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置で、パイプに対して静止していた。この状態から小球はパイプにそって外側へ動きだす。小球が $\mathrm{O}$ から距離 $2r_0$ の位置を通過する瞬間に、パイプが小球におよぼす力の水平成分の大きさを、$m$, $\omega$, $r_0$ を用いて表せ。ただし、重力は鉛直下向きにはたらき、パイプが小球におよぼす力の鉛直成分が重力とつりあっているものとする。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{3}a$、$\mathrm{BC}=a$ である。板の中心（重心）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ に一致する固定軸のまわりに、一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。軸は板に固定されていて、軸受けによって空間に対して固定されている。

板の厚さは無視でき、重力や摩擦などの影響は考えないものとする。このとき、回転を一定に保つために軸（軸受け）が板に及ぼしている、$\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円柱が、中心軸を水平にして粗い水平な床の上に置かれている。円柱の側面に軽くて伸びない糸を巻きつけ、糸の端を円柱の最上部から水平に引き出して、一定の大きさ $F$ の力で水平に引く。円柱は床の上をすべらずに転がった。このとき円柱の中心の加速度の大きさを $M$, $F$ を用いて表せ。ただし、糸は円柱の側面に対してすべらず、糸は常に円柱の最上部から水平にのびているものとし、転がり摩擦と空気抵抗は無視する。