力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=a$、$\mathrm{BC}=2a$ である。板の中心（対角線の交点）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ を含む直線を回転軸として、軸受けで支えて一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。回転軸は空間に固定されており、重力など軸受け以外からはたらく力の影響は考えない。板の厚さは無視できるものとする。

このとき、回転を保つために軸受けが板に及ぼす、点 $\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。

細くてまっすぐなパイプが水平に置かれ、鉛直な固定軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で水平面内を回転している。パイプは回転軸と点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わっている。パイプの中には質量 $m$ の小球が入っており、小球はパイプにそってなめらかに（摩擦なく）動ける。小球の大きさは無視でき、パイプは十分に長いものとする。

はじめ、小球は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置で、パイプに対して静止していた。この状態から小球はパイプにそって外側へ動きだす。小球が $\mathrm{O}$ から距離 $2r_0$ の位置を通過する瞬間に、パイプが小球におよぼす力の水平成分の大きさを、$m$, $\omega$, $r_0$ を用いて表せ。ただし、重力は鉛直下向きにはたらき、パイプが小球におよぼす力の鉛直成分が重力とつりあっているものとする。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（$z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

• おもり P（質量 $m$）は、$z=h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
• おもり Q（質量 $2m$）は、$z=-h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
• P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z=d$ と $z=-d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、$a>0$, $h>0$, $d>0$, $m>0$, $\omega >0$ とする。

$z=d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、$m$, $a$, $h$, $d$, $\omega$ を用いて表せ。