力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{3}a$、$\mathrm{BC}=a$ である。板の中心（重心）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ に一致する固定軸のまわりに、一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。軸は板に固定されていて、軸受けによって空間に対して固定されている。

板の厚さは無視でき、重力や摩擦などの影響は考えないものとする。このとき、回転を一定に保つために軸（軸受け）が板に及ぼしている、$\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。

細くてまっすぐなパイプが水平に置かれ、鉛直な固定軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で水平面内を回転している。パイプは回転軸と点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わっている。パイプの中には質量 $m$ の小球が入っており、小球はパイプにそってなめらかに（摩擦なく）動ける。小球の大きさは無視でき、パイプは十分に長いものとする。

はじめ、小球は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置で、パイプに対して静止していた。この状態から小球はパイプにそって外側へ動きだす。小球が $\mathrm{O}$ から距離 $2r_0$ の位置を通過する瞬間に、パイプが小球におよぼす力の水平成分の大きさを、$m$, $\omega$, $r_0$ を用いて表せ。ただし、重力は鉛直下向きにはたらき、パイプが小球におよぼす力の鉛直成分が重力とつりあっているものとする。

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（$z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

• おもり P（質量 $m$）は、$z=h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
• おもり Q（質量 $2m$）は、$z=-h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
• P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z=d$ と $z=-d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、$a>0$, $h>0$, $d>0$, $m>0$, $\omega >0$ とする。

$z=d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、$m$, $a$, $h$, $d$, $\omega$ を用いて表せ。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。