極座標での運動方程式

平面運動の加速度の極座標成分 $a_{r} = r ¨ - r φ ˙^{2}$ , $a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$ を導き、中心力や束縛のある運動の運動方程式を $r$ , $φ$ の成分で書いて、指定された量（張力・加速度など）を求められる

前提

運動方程式（高校物理力と運動）
極座標（数学C 平面上の曲線）
合成関数の微分（数学III 微分法）

この技能までの道筋（55 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）

説明

平面上を動く物体の位置を、原点からの距離 $r$ と角度 $φ$ で表したまま運動方程式を立てる方法です。加速度を $r$ 方向（動径方向）と、それに垂直な $φ$ 方向に分けると、 $a_{r} = r ¨ - r φ ˙^{2}$ 、 $a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$ となります。糸でつながれて回る物体、回転する棒に沿って動く物体、惑星のように中心に向かう力を受ける物体など、回転を含む運動を扱うときに、直交座標よりずっと簡単に式が立てられます。

なぜそうしてよいのか

物体の位置を $(x, y) = (r cos φ, r sin φ)$ と書き、 $r$ と $φ$ がどちらも時刻 $t$ の関数だと考えます。ここで、物体のいる場所ごとに 2 つの単位ベクトル $e_{r} = (cos φ, sin φ)$ （原点から外向き）と $e_{φ} = (- sin φ, cos φ)$ （ $φ$ が増える向き）を用意します。これらは大きさ 1 で互いに垂直ですが、物体が動くと $φ$ が変わるので向きが変わります。連鎖律で時間微分すると $\frac{d}{d t} cos φ = - φ ˙ sin φ$ 、 $\frac{d}{d t} sin φ = φ ˙ cos φ$ なので、 $e ˙_{r} = φ ˙ e_{φ}$ 、 $e ˙_{φ} = - φ ˙ e_{r}$ が成り立ちます（ドットは時間微分）。

位置ベクトルは $r = r e_{r}$ です。積の微分を使うと速度は $v = r ˙ e_{r} + r φ ˙ e_{φ}$ 。もう一度微分すると
$a = r ¨ e_{r} + r ˙ φ ˙ e_{φ} + r ˙ φ ˙ e_{φ} + r φ ¨ e_{φ} + r φ ˙ (- φ ˙ e_{r})$
となり、まとめると $a = (r ¨ - r φ ˙^{2}) e_{r} + (r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙) e_{φ}$ です。

$- r φ ˙^{2}$ は、等速円運動でおなじみの中心向きの加速度（向心加速度）です。 $2 r ˙ φ ˙$ は、半径方向に動きながら回ると、単位ベクトルの向きの変化と半径の変化が重なって生じる項で、 $r ˙$ からくる寄与と $e ˙_{r}$ からくる寄与が 1 つずつあるので係数が 2 になります。運動方程式 $m a = F$ をこの 2 方向の成分に分ければ、 $m a_{r} = F_{r}$ 、 $m a_{φ} = F_{φ}$ の 2 本の式が得られます。

手順

原点（回転の中心や力の中心）と角度 $φ$ の基準を決め、物体の位置を $r$ , $φ$ で表す。
物体にはたらく力をすべて図示し、各力を動径方向（ $e_{r}$ 、外向きを正）と $φ$ 方向（ $e_{φ}$ 、 $φ$ が増える向きを正）の成分 $F_{r}$ , $F_{φ}$ に分ける。運動面に垂直な力はつり合いの式で別に扱う。
問題の条件から $r$ , $r ˙$ , $r ¨$ , $φ ˙$ , $φ ¨$ のうちわかっているものを書き出す（例: 糸の長さが一定なら $r ˙ = r ¨ = 0$ 、一定の角速度 $ω$ で回るなら $φ ˙ = ω$ , $φ ¨ = 0$ ）。
運動方程式を 2 成分で書く: $m (r ¨ - r φ ˙^{2}) = F_{r}$ 、 $m (r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙) = F_{φ}$ 。
得られた式を、求める量（張力・抗力・加速度など）について解く。

例題

なめらかな水平面上で、細くてなめらかな棒が鉛直な軸 O のまわりに一定の角速度 $ω$ で回転している。棒には質量 $m$ の小さな輪が通してあり、輪は棒に沿って摩擦なく動ける。ある瞬間、輪は O から距離 $r$ の位置にあり、棒に沿って O から遠ざかる向きに速さ $v$ で動いていた（ $r ˙ = v$ ）。この瞬間に棒が輪に及ぼす力の水平成分の大きさを、 $m$ , $v$ , $ω$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: O を原点とし、棒の向きを角度 $φ$ で表す。輪の位置は O からの距離 $r$ と $φ$ で表される。

手順 2: 水平面内で輪にはたらく力は、棒からの力の水平成分だけである（重力と鉛直方向の抗力はつり合い、運動面に垂直）。棒はなめらかなので、棒からの力は棒に垂直で、動径方向の成分は $F_{r} = 0$ 。 $φ$ 方向の成分を $N$ とおく: $F_{φ} = N$ 。

手順 3: 棒は一定の角速度で回るので $φ ˙ = ω$ , $φ ¨ = 0$ 。また、この瞬間 $r ˙ = v$ 。

手順 4: 運動方程式の 2 成分は
$m (r ¨ - r ω^{2}) = 0, m (r \cdot 0 + 2 v ω) = N$

手順 5: 2 本目の式より $N = 2 m v ω$ 。この値は正なので、力は $φ$ が増える向き（回転の向き）にはたらき、その大きさは $2 m v ω$ である。なお 1 本目の式からは $r ¨ = r ω^{2}$ がわかり、輪は棒に沿って外向きに加速されることもわかる。

答え: $2 m v ω$

よくある誤り

動径方向の加速度を $a_{r} = r ¨$ だけにしてしまう誤り。 $e_{r}$ の向きが回転とともに変わるので、正しくは $a_{r} = r ¨ - r φ ˙^{2}$ 。 $r$ が一定の円運動でも $a_{r} = - r φ ˙^{2} \neq = 0$ となる。
$φ$ 方向の加速度を $a_{φ} = r φ ¨$ だけにしたり、 $r ˙ φ ˙$ の係数を 1 にしてしまう誤り。正しくは $a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$ 。 $r ˙$ からの寄与と $e ˙_{r} = φ ˙ e_{φ}$ からの寄与の 2 つがあるので係数は 2 になる。
向心加速度の向きを外向きと考え、 $m r φ ˙^{2} = F_{r}$ のように符号を逆にしてしまう誤り。外向きを正とすると $m (r ¨ - r φ ˙^{2}) = F_{r}$ であり、たとえば中心に向かう張力 $T$ だけで半径一定の円運動をするときは $- m r φ ˙^{2} = - T$ 、つまり $T = m r φ ˙^{2}$ となる。
角速度を表す $φ ˙$ と速さを混同し、円運動の向心加速度を $r φ ˙$ や $φ ˙^{2}$ としてしまう誤り。 $φ ˙$ の単位は rad/s で、円周方向の速さは $r φ ˙$ 、向心加速度の大きさは $r φ ˙^{2} = \frac{( r φ ˙ ) ^{2}}{r}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が運動している。水平面上の定点 $O$ を原点とする極座標 $(r, φ)$ を用いると、時刻 $t (t > 0)$ における小物体の位置は
$r = b t, φ = ω t$
と表される。ここで $b$ , $ω$ は正の定数である。小物体にはたらく水平面内の合力の $φ$ 成分（ $φ$ が増える向きを正とする）を、 $m$ , $b$ , $ω$ を用いて表せ。
$O$ $x$ $y$ $r$ $φ$
小物体の位置と極座標 $(r, φ)$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））