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力学（質点・剛体）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理力学（質点・剛体）

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が運動している。水平面上の定点 $O$ を原点とする極座標 $(r, φ)$ を用いると、時刻 $t (t > 0)$ における小物体の位置は
$r = b t, φ = ω t$
と表される。ここで $b$ , $ω$ は正の定数である。小物体にはたらく水平面内の合力の $φ$ 成分（ $φ$ が増える向きを正とする）を、 $m$ , $b$ , $ω$ を用いて表せ。

O

x

y

r

φ

小物体の位置と極座標

(r, φ)

この問題で使うもの

極座標での運動方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

極座標での運動方程式を使う。合力の $φ$ 成分は $m a_{φ}$ で表される。

ヒント 2

$a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$ を使う。 $r ˙$ , $r ¨$ , $φ ˙$ , $φ ¨$ を求めよう。

ヒント 3

$r ˙ = b$ , $φ ˙ = ω$ , $φ ¨ = 0$ なので、 $a_{φ} = b t \cdot 0 + 2 r ˙ φ ˙$ を計算すればよい。

答えと解説

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2 mbω

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解説を読む

平面運動の加速度の極座標成分は
$a_{r} = r ¨ - r φ ˙^{2}, a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$
である。運動方程式を $φ$ 成分で書くと、合力の $φ$ 成分 $F_{φ}$ は
$F_{φ} = m a_{φ} = m (r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙)$
となる。

$r = b t$ , $φ = ω t$ を $t$ で微分すると
$r ˙ = b, r ¨ = 0, φ ˙ = ω, φ ¨ = 0$
である。これらを代入すると
$a_{φ} = b t \cdot 0 + 2 \cdot b \cdot ω = 2 bω$
よって
$F_{φ} = 2 mbω$
である。（ $φ$ が一定の速さで増え、 $r$ も一定の速さで増えるが、それでも $φ$ 方向の加速度 $2 r ˙ φ ˙$ が生じる点に注意する。なお $r$ 成分は $a_{r} = 0 - b t ω^{2} = - b ω^{2} t$ で、合力の $r$ 成分は $- mb ω^{2} t$ となる。）

別解

極座標での加速度の $φ$ 成分は $a_{φ} = r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙$ である。 $r = b t$ , $r ˙ = b$ , $φ ˙ = ω$ , $φ ¨ = 0$ より $a_{φ} = b t \cdot 0 + 2 bω = 2 bω$ 。水平面はなめらかなので、水平面内の合力の $φ$ 成分は $F_{φ} = m a_{φ} = 2 mbω$ 。検算: $a_{φ} = \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} φ ˙) = \frac{1}{b t} \frac{d}{d t} (b^{2} ω t^{2}) = \frac{2 b ^{2} ω t}{b t} = 2 bω$ で一致する。

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