力学（質点・剛体）の問題

$xyz$ 座標空間（$z$ 軸は鉛直上向き）で、質量 $m$ の小物体が、位置 $(x,y,z)$ において力
$$\vec{F}=\left(-kx,-ky,-kz-mg\right)$$
だけを受けて運動する。ここで $k$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。

この力は保存力である。小物体を点 $\mathrm{P}(a,0,0)$（$a>0$）で静かにはなすと、小物体は点 $\mathrm{Q}\left(0,0,-\frac{mg}{k}\right)$ を通過する。点 $\mathrm{Q}$ を通過するときの小物体の速さを、$m$, $k$, $g$, $a$ を用いて表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が運動している。水平面上の定点 $\mathrm{O}$ を原点とする極座標 $(r,\phi )$ を用いると、時刻 $t(t>0)$ における小物体の位置は
$$r=bt,\phi =\omega t$$
と表される。ここで $b$, $\omega$ は正の定数である。小物体にはたらく水平面内の合力の $\phi$ 成分（$\phi$ が増える向きを正とする）を、$m$, $b$, $\omega$ を用いて表せ。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。

このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。$a$, $\omega$, $g$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。