抵抗力を含む運動方程式の解

速度に比例する抵抗 $- b v$ を受ける落下・水平運動の運動方程式 $m v ˙ = m g - b v$ を微分方程式として解き、速度・位置の時間変化や終端速度、ある速度に達するまでの時間を求められる

前提

運動方程式（高校物理力と運動）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

空気や水の中を動く物体は、遅いときにはおおよそ速さに比例する抵抗力 $- b v$ （ $b > 0$ は定数）を受けます。この技能では、その抵抗を含む運動方程式 $m v ˙ = m g - b v$ （水平運動なら $m v ˙ = - b v$ ）を 1 階線形微分方程式として解き、速度 $v (t)$ と位置 $x (t)$ を時刻の関数として求めます。そこから、十分時間がたったあとの一定の速さ（終端速度）や、ある速さに達するまでの時間を計算できます。雨粒や油滴の落下、液体中で沈む小球、速度に比例する力で減速する運動などに使います。

なぜそうしてよいのか

鉛直下向きを正にとって物体（質量 $m$ ）にはたらく力を書くと、重力 $m g$ と、運動と逆向きの抵抗力 $- b v$ です。運動方程式は $m v ˙ = m g - b v$ で、両辺を $m$ で割ると $v ˙ + \frac{b}{m} v = g$ となります。これは $y^{'} + p (x) y = q (x)$ の形で、 $p = \frac{b}{m}$ （定数）、 $q = g$ （定数）の 1 階線形微分方程式なので、積分因子 $e^{b t / m}$ を掛けて解けます。左辺は $\frac{d}{d t} (v e^{b t / m})$ にまとまるので、両辺を積分して $v e^{b t / m} = \frac{m g}{b} e^{b t / m} + C$ 、つまり $v (t) = \frac{m g}{b} + C e^{- b t / m}$ です（ $C$ は積分定数）。定数 $C$ は初速度 $v (0) = v_{0}$ から $C = v_{0} - \frac{m g}{b}$ と決まります。

この解は直観とも合います。速さが増えるほど抵抗が大きくなり、 $b v = m g$ となる速さ $v_{T} = \frac{m g}{b}$ で力がつり合って加速が止まります。これが終端速度です。実際、 $v - v_{T} = (v_{0} - v_{T}) e^{- t / τ}$ （ $τ = \frac{m}{b}$ ）なので、差は指数関数的に 0 に近づき、 $t \to \infty$ で $v \to v_{T}$ になります。 $τ$ は「時定数」と呼ばれ、時間 $τ$ たつごとに $v_{T}$ との差が $\frac{1}{e}$ 倍になります。

位置は速度を積分して求めます。 $x (0) = x_{0}$ とすると $x (t) = x_{0} + v_{T} t + τ (v_{0} - v_{T}) (1 - e^{- t / τ})$ です。重力がない水平運動では $g$ の項を 0 にして $v_{T} = 0$ とおけばよく、 $v (t) = v_{0} e^{- t / τ}$ 、 $x (t) = x_{0} + τ v_{0} (1 - e^{- t / τ})$ となり、物体は有限の距離 $τ v_{0}$ に近づくだけ進んで止まりに近づきます。

手順

運動の向きに正の向きを決め、重力と抵抗力 $- b v$ を書き込んで運動方程式を立てる: $m v ˙ = m g - b v$ （水平運動なら $m v ˙ = - b v$ ）。
両辺を $m$ で割り、 $v ˙ + \frac{b}{m} v = g$ の形にする。
積分因子 $e^{b t / m}$ を掛けて $\frac{d}{d t} (v e^{b t / m}) = g e^{b t / m}$ とし、積分定数 $C$ を付けて積分し、一般解 $v (t) = \frac{m g}{b} + C e^{- b t / m}$ を得る。
初期条件 $v (0) = v_{0}$ から $C = v_{0} - \frac{m g}{b}$ を決める。終端速度は $t \to \infty$ の極限 $v_{T} = \frac{m g}{b}$ 。
必要なら $v (t)$ をもう一度積分し、 $x (0) = x_{0}$ を使って位置 $x (t)$ を求める。
求めたい量（ある速さになる時刻など）を条件として式に入れ、対数を使って $t$ について解く。

例題

質量 $m$ の小球を、空気中で静かに放した（初速度 0）。小球は鉛直下向きに重力 $m g$ と、速度 $v$ に比例する抵抗力 $- b v$ （ $b > 0$ は定数）だけを受けて落下するものとする。小球の速さが終端速度のちょうど半分になるのは、放してから何秒後か。 $m$ , $b$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 鉛直下向きを正とすると、運動方程式は $m v ˙ = m g - b v$ 。

手順 2: $m$ で割って $v ˙ + \frac{b}{m} v = g$ 。

手順 3: 積分因子 $e^{b t / m}$ を掛けると $\frac{d}{d t} (v e^{b t / m}) = g e^{b t / m}$ 。両辺を $t$ で積分して $v e^{b t / m} = \frac{m g}{b} e^{b t / m} + C$ 、よって $v (t) = \frac{m g}{b} + C e^{- b t / m}$ 。

手順 4: $v (0) = 0$ より $0 = \frac{m g}{b} + C$ 、 $C = - \frac{m g}{b}$ 。したがって
$v (t) = \frac{m g}{b} (1 - e^{- b t / m})$
であり、終端速度は $t \to \infty$ として $v_{T} = \frac{m g}{b}$ 。

手順 6: $v (t) = \frac{1}{2} v_{T}$ とおくと $1 - e^{- b t / m} = \frac{1}{2}$ 、すなわち $e^{- b t / m} = \frac{1}{2}$ 。両辺の自然対数をとって $- \frac{b t}{m} = - lo g 2$ 、よって $t = \frac{m}{b} lo g 2$ 。（位置は今回は不要なので手順 5 は省略した。）

答え: $\frac{m}{b} lo g 2$

よくある誤り

抵抗力の符号を重力と同じ向きにして $m v ˙ = m g + b v$ としてしまう誤り。抵抗は運動と逆向きなので、下向きを正として落下しているときは $m v ˙ = m g - b v$ 。 $+ b v$ にすると速度が際限なく増え、終端速度が現れない。
一般解の一部だけを書いてしまう誤り。たとえば同次方程式 $v ˙ + \frac{b}{m} v = 0$ の解 $v = C e^{- b t / m}$ だけを書いて定数項 $\frac{m g}{b}$ を落とすと、これは重力がない $m v ˙ = - b v$ の解になってしまう。逆に、初期条件を使わずに $C = 0$ として $v = \frac{m g}{b}$ （常に終端速度）としてしまうのも誤りで、これは $v_{0} = \frac{m g}{b}$ のときにしか成り立たない。正しくは一般解 $v (t) = \frac{m g}{b} + C e^{- b t / m}$ に $v (0) = v_{0}$ を入れて $C = v_{0} - \frac{m g}{b}$ を決める。初速度 0 なら $v (t) = \frac{m g}{b} (1 - e^{- b t / m})$ 。
指数の中を $e^{- b t}$ や $e^{- m t / b}$ にしてしまう誤り。 $v ˙ + \frac{b}{m} v = g$ の係数は $\frac{b}{m}$ なので、正しくは $e^{- b t / m}$ 。時定数 $τ = \frac{m}{b}$ は時間の次元をもつので、 $\frac{t}{τ} = \frac{b t}{m}$ が無次元になっているかで確かめられる。
位置を求めるときに $x = v (t) t$ としてしまう誤り。速度が時間とともに変わるので、正しくは $v (t)$ を積分する。初速度 0、 $x (0) = 0$ なら $x (t) = \frac{m g}{b} t - \frac{m ^{2} g}{b ^{2}} (1 - e^{- b t / m})$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の小球を、時刻 $t = 0$ に静かにはなして鉛直下向きに落下させる。小球は重力 $m g$ と、速度に比例する空気の抵抗力 $- b v$ を受けるものとする。ここで $v$ は鉛直下向きを正とした小球の速度、 $b$ は正の定数、 $g$ は重力加速度の大きさである。浮力は無視する。
小球の速さが終端速度の大きさの $\frac{1}{2}$ に達する時刻を、 $m$ , $b$ を用いて表せ。
$m g$ $b v$ $v$
小球にはたらく力（鉛直下向きを正とする）

この技能の次に学べること

ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）
ストークスの抵抗と終端速度（大学物理流体力学・連続体）