力学（質点・剛体）

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が運動している。水平面上の定点 $\mathrm{O}$ を原点とする極座標 $(r,\phi )$ を用いると、時刻 $t(t>0)$ における小物体の位置は
$$r=bt,\phi =\omega t$$
と表される。ここで $b$, $\omega$ は正の定数である。小物体にはたらく水平面内の合力の $\phi$ 成分（$\phi$ が増える向きを正とする）を、$m$, $b$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の小球を、時刻 $t=0$ に静かにはなして鉛直下向きに落下させる。小球は重力 $mg$ と、速度に比例する空気の抵抗力 $-bv$ を受けるものとする。ここで $v$ は鉛直下向きを正とした小球の速度、$b$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。浮力は無視する。

小球の速さが終端速度の大きさの $\frac{1}{2}$ に達する時刻を、$m$, $b$ を用いて表せ。

$xyz$ 座標空間（$z$ 軸は鉛直上向き）で、質量 $m$ の小物体が、位置 $(x,y,z)$ において力
$$\vec{F}=\left(-kx,-ky,-kz-mg\right)$$
だけを受けて運動する。ここで $k$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。

この力は保存力である。小物体を点 $\mathrm{P}(a,0,0)$（$a>0$）で静かにはなすと、小物体は点 $\mathrm{Q}\left(0,0,-\frac{mg}{k}\right)$ を通過する。点 $\mathrm{Q}$ を通過するときの小物体の速さを、$m$, $k$, $g$, $a$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

外力がはたらかない宇宙空間で、静止していたロケット（燃料を含む全質量 $m_0$）が、一直線上で後方にガスを噴射して加速する。ガスはつねにロケットに対して相対的な速さ $u$ で噴射されるものとする。ロケットやガスの速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学（非相対論的な力学）で扱えるものとする。

ロケットの全質量が $\frac{m_0}{4}$ になったときのロケットの速さを、$u$ を用いて表せ。

内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。

このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。$a$, $\omega$, $g$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒上で端 $\mathrm{A}$ から距離 $\frac{L}{4}$ の点を $\mathrm{P}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通り棒に垂直な軸のまわりの、棒の慣性モーメントを $M$, $L$ を用いて表せ。ただし、棒の太さは無視できるものとする。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴 $\mathrm{O}$ があり、穴に通した軽い糸の一端に質量 $m$ の小球をつけ、もう一端を台の下で手で持っている。はじめ小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$ の円周上を、角速度 ${\omega }_0$ で等速円運動していた。その後、手で糸をゆっくり下に引き、小球と $\mathrm{O}$ の距離を $\frac{a}{2}$ にした。このとき小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の等速円運動をしていた。

このときの小球の角速度を、${\omega }_0$ を用いて表せ。ただし、糸と穴のあいだの摩擦は無視できるものとする。

地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $\phi$（$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。

地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、$m$, $\Omega$, $v$, $\phi$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。

$xyz$ 座標空間で、質量 $m$ の 2 つの質点が点 $\mathrm{A}(a,0,0)$ と点 $\mathrm{B}(a,a,0)$ にあり、原点 $\mathrm{O}$ と軽い棒で固定されて 1 つの剛体をなしている（$a>0$）。棒の質量は無視できる。

この剛体の原点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソル $I_{ij}=\sum m(r^2{\delta }_{ij}-x_i{x}_j)$ を求め、原点 $\mathrm{O}$ のまわりの 3 つの主慣性モーメントのうち最小のものを、$m$, $a$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が、定点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=\frac{\alpha }{4}{r}^4(\alpha >0)$$
による中心力を受けて、平面内を運動している。$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量の大きさを $L(>0)$ とする。

質点が $\mathrm{O}$ を中心とする円軌道を回っているとき、その円軌道からわずかにずれたときの動径方向の微小振動の角振動数を ${\omega }_r$、円軌道を回る角速度を ${\omega }_{\phi }$ とする。比 $\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\phi }}$ を求めよ。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。

質量 $M$ の天体の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の点 $\mathrm{P}$ で、質量 $m$（$m\ll M$）の人工衛星が、線分 $\mathrm{OP}$ に垂直な向きに速さ
$$v_0=\sqrt{\frac{3GM}{2r_0}}$$
で動いていた。ここで $G$ は万有引力定数である。人工衛星は天体からの万有引力だけを受けて運動し、天体は静止しているとみなす。

その後の運動で、人工衛星と $\mathrm{O}$ の距離の最大値を、$r_0$ を用いて表せ。

重心のまわりの主慣性モーメントが $I_1=I_2$, $I_3$（$I_3>I_1$）である対称な剛体が、外力のトルクを受けずに重心のまわりで自由に回転している。剛体に固定した主軸座標（$x_3$ 軸が対称軸）で角速度を $\vec{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$ と表すと、${\omega }_3$ は正の一定値であり、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ は $0$ でない。

オイラーの運動方程式を用いて、剛体に固定した座標系から見て $({\omega }_1,{\omega }_2)$ が回転する角振動数（${\omega }_1$, ${\omega }_2$ が単振動する角振動数）を、$I_1$, $I_3$, ${\omega }_3$ を用いて表せ。

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（$z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

• おもり P（質量 $m$）は、$z=h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
• おもり Q（質量 $2m$）は、$z=-h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
• P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z=d$ と $z=-d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、$a>0$, $h>0$, $d>0$, $m>0$, $\omega >0$ とする。

$z=d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、$m$, $a$, $h$, $d$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円柱が、中心軸を水平にして粗い水平な床の上に置かれている。円柱の側面に軽くて伸びない糸を巻きつけ、糸の端を円柱の最上部から水平に引き出して、一定の大きさ $F$ の力で水平に引く。円柱は床の上をすべらずに転がった。このとき円柱の中心の加速度の大きさを $M$, $F$ を用いて表せ。ただし、糸は円柱の側面に対してすべらず、糸は常に円柱の最上部から水平にのびているものとし、転がり摩擦と空気抵抗は無視する。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

内側の半径が $10.0\mathrm{cm}$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega =12.0rad/s$ で回転させた。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系で静止した。このとき、水面の容器の内壁での高さと中心軸上での高さの差は何 $\mathrm{cm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水は容器からあふれず、容器の底は水面より下で露出しないものとする。表面張力は無視する。

重力や空気抵抗などの外力がはたらかない空間で、静止していたロケットが一直線上を加速する。ロケットは燃料ガスを、ロケットに対して常に一定の速さ $u$ で、進行方向と逆向きに噴射し続ける。燃料を含めたロケットのはじめの質量は $m_0$ で、燃料を使いきったときの質量は $\frac{m_0}{3}$ であった。燃料を使いきったときのロケットの速さを $u$ を用いて表せ。ただし、速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学で扱えるものとする。

ある彗星が太陽 $\mathrm{S}$ のまわりを楕円軌道で回っている。この彗星が太陽に最も近づく点 $\mathrm{P}$ での太陽からの距離は $1\mathrm{au}$、最も遠ざかる点 $\mathrm{Q}$ での太陽からの距離は $7\mathrm{au}$ である。地球は太陽のまわりを半径 $1\mathrm{au}$ の円軌道で周期 $1$ 年で回っているものとする。この彗星の公転周期は何年か、正確な値で求めよ。ただし、太陽は静止しているとみなし、彗星と地球にはたらく力は太陽の万有引力だけとする（惑星どうし・惑星と彗星のあいだの引力は無視する）。

厚さが一様で薄い、半径 $R$ の円板（中心 $\mathrm{O}$）から、中心 ${\mathrm{O}}^{\prime }$ が $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=\frac{R}{2}$ を満たす半径 $\frac{R}{2}$ の円板を切り取って、穴のあいた板をつくった（切り取る円板は、もとの円板の内部にあり、$\mathrm{O}$ を通る）。もとの円板は一様な材質でできており、穴をあけたあとの板の質量は $M$ である。

この板の、点 $\mathrm{O}$ を通り板の面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント $I$ を、$M$, $R$ を用いて求めよ。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

質量 $m$、長さ $a$ の一様な細い棒 3 本の端どうしを固定して、正三角形の枠 $\mathrm{OAB}$ をつくった。枠の頂点 $\mathrm{O}$ を通り、枠の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、枠が鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できるようにする。枠を、つりあいの位置（$\mathrm{O}$ の真下に辺 $\mathrm{AB}$ が水平にくる位置）から鉛直面内でわずかに傾けてはなすと、枠は微小な振動をする。

この微小振動の周期を、$a$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さ、つなぎ目の質量、空気抵抗は無視する。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=a$、$\mathrm{BC}=2a$ である。板の中心（対角線の交点）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ を含む直線を回転軸として、軸受けで支えて一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。回転軸は空間に固定されており、重力など軸受け以外からはたらく力の影響は考えない。板の厚さは無視できるものとする。

このとき、回転を保つために軸受けが板に及ぼす、点 $\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台に小さな穴 $\mathrm{O}$ があいている。軽くて伸びない糸を穴に通し、台の上の端に質量 $m$ の小物体 $\mathrm{P}$ を、台の下にたらした端に質量 $2m$ のおもりをつける。おもりは鉛直線上だけを運動するものとする。

はじめ、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置にあり、糸はぴんと張っている。この瞬間、おもりは静止しており、$\mathrm{P}$ には糸に垂直な水平方向の初速度（大きさ $v_0$）を与えた。その後、$\mathrm{P}$ は台の上を運動し、$\mathrm{O}$ からの距離は $r_0$ と $2r_0$ のあいだで増減をくり返した。

$v_0$ を $g$, $r_0$ で表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台・穴と糸のあいだの摩擦や空気抵抗は無視する。糸は運動のあいだたるまず、$\mathrm{P}$ が穴に達することや、おもりが台に当たることはないものとする。

細くてまっすぐなパイプが水平に置かれ、鉛直な固定軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で水平面内を回転している。パイプは回転軸と点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わっている。パイプの中には質量 $m$ の小球が入っており、小球はパイプにそってなめらかに（摩擦なく）動ける。小球の大きさは無視でき、パイプは十分に長いものとする。

はじめ、小球は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置で、パイプに対して静止していた。この状態から小球はパイプにそって外側へ動きだす。小球が $\mathrm{O}$ から距離 $2r_0$ の位置を通過する瞬間に、パイプが小球におよぼす力の水平成分の大きさを、$m$, $\omega$, $r_0$ を用いて表せ。ただし、重力は鉛直下向きにはたらき、パイプが小球におよぼす力の鉛直成分が重力とつりあっているものとする。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{3}a$、$\mathrm{BC}=a$ である。板の中心（重心）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ に一致する固定軸のまわりに、一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。軸は板に固定されていて、軸受けによって空間に対して固定されている。

板の厚さは無視でき、重力や摩擦などの影響は考えないものとする。このとき、回転を一定に保つために軸（軸受け）が板に及ぼしている、$\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒の中心を $\mathrm{G}$ とする。棒の $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ のあいだの点 $\mathrm{P}$ に小さな穴をあけ、その穴に、棒に垂直な水平の固定軸を通して棒をつるす。棒は軸のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転でき、$\mathrm{PG}=x$ $\left(0<x\le \frac{L}{2}\right)$ とする。穴による質量分布の変化と空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒を鉛直なつり合いの位置から少し傾けて放すと、棒は微小振動をする。点 $\mathrm{P}$ の位置（$x$）をいろいろに変えたとき、この微小振動の周期の最小値を $L$, $g$ を用いて求めよ。

質量 $M$ の惑星のまわりを、質量 $m(m\ll M)$ の人工衛星が、惑星の中心 O を中心とする半径 $R$ の円軌道で回っている。この円軌道での衛星の速さを $v_c$ とする。衛星が軌道上の点 P にあるとき、ごく短い時間エンジンを噴射して、速度の向きを変えずに速さを $\alpha v_c$ $\left(1<\alpha <\sqrt{2}\right)$ にした。その後、衛星は惑星の万有引力だけを受けて運動する。惑星は静止しているとみなし、惑星の大きさと大気の影響は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

噴射後の衛星の軌道で、O から最も遠い点までの距離を $R$ と $\alpha$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ を中心とするポテンシャル $U(r)=\alpha r^4$（$r$ は $\mathrm{O}$ からの距離、$\alpha$ は正の定数）の中で、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量の大きさ $L(>0)$ をもって平面運動している。質点の軌道が半径 $r_c$ の円軌道からわずかにずれているとき、動径 $r$ は $r_c$ のまわりで角振動数 ${\omega }_r$ の微小振動をする。円軌道を回る角速度を ${\omega }_{\phi }$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\phi }}$ を正確な値で求めよ。ただし、$r_c$ は同じ $L$ をもつ円軌道の半径であり、${\omega }_{\phi }$ はその円軌道での角速度とする。質点にはこの中心力以外の力ははたらかないものとする。

北緯 $60^{\circ }$ の地点で、地面からの高さ $h=125\mathrm{m}$ の点から小球を静かに放した（地面に固定した座標系に対して初速度 $0$）。地球の自転によるコリオリ力のため、小球は放した点の真下の点からわずかに東へずれた点に落下する。このずれの大きさは何 $\mathrm{mm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球の自転の角速度の大きさを $\Omega =7.29\times 10^{-5}rad/s$、重力加速度の大きさ（遠心力の効果を含む）を $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ で一定とし、空気抵抗は無視する。コリオリ力の効果は $\Omega$ の 1 次までとり、遠心力による鉛直方向のずれは $g$ に含まれているものとする。

質量 $M$、1 辺の長さ $a$ の一様な立方体がある。立方体の 1 つの頂点 $\mathrm{O}$ を原点とし、$\mathrm{O}$ から出る 3 本の辺にそって $x$, $y$, $z$ 軸をとる。点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソルの主慣性モーメント（慣性テンソルの固有値）のうち、最小のものと最大のものをこの順に組で求め、$M$, $a$ を用いて表せ。

質量 $M$ の惑星（中心 $\mathrm{O}$）のまわりを、人工衛星が半径 $R$ の円軌道で回っている。衛星を半径 $4R$ の円軌道に移すため、次の 2 回の加速を行う。まず円軌道上の点 $\mathrm{P}$ で進行方向に瞬間的に加速し、$\mathrm{O}$ に最も近い点が $\mathrm{P}$（$\mathrm{O}$ からの距離 $R$）、最も遠い点が $\mathrm{A}$（$\mathrm{O}$ からの距離 $4R$）の楕円軌道に移す。次に $\mathrm{A}$ に達したとき進行方向に瞬間的に加速し、半径 $4R$ の円軌道に移す。2 回の加速による速さの増加の合計を $\Delta v$、半径 $R$ の円軌道での速さを $v_c$ とするとき、$\frac{\Delta v}{v_c}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、惑星は静止しているとみなし、衛星には惑星の万有引力（ポテンシャル $-\frac{GMm}{r}$、$m$ は衛星の質量、$G$ は万有引力定数）以外の力ははたらかないものとする。加速による衛星の質量の変化は無視する。

なめらかな水平な台の上に、質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ が静止して置かれている。棒上の点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AC}=\frac{\ell }{4}$ を満たす。点 $\mathrm{C}$ に、水平で棒に垂直な向きに大きさ $J$ の力積を瞬間的に加えた。力積を加えた直後の端 $\mathrm{B}$ の速さを $M$, $J$ を用いて表せ。ただし、台と棒のあいだの摩擦は無視し、力積を加えるあいだ棒の位置は変わらないものとする。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面の上に、質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$（重心 $\mathrm{G}$）が静止している。棒は水平面の上で固定されておらず、自由に動ける。質量 $m$ の小球 $\mathrm{P}$ が、水平面の上を棒に垂直な向きに速さ $v_0$ で進み、棒の端 $\mathrm{A}$ に衝突した。

衝突は瞬間的に起こる弾性衝突（衝突の前後で力学的エネルギーが保存する）であり、小球と棒のあいだに摩擦はなく、小球は大きさの無視できる質点とみなす。水平面と棒・小球のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。

衝突の直後に、棒が重心 $\mathrm{G}$ のまわりに回転する角速度の大きさ $\omega$ を、$m$, $M$, $L$, $v_0$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面には、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半円形の断面をもつ溝がほられており、溝の内面はなめらかである。溝の断面は鉛直面内にあり、台はこの面内で床にそって水平方向にだけ動ける。

はじめ台は静止しており、質量 $m$ の小球を溝の内面上の点で静かに放す。放す点は、$\mathrm{O}$ と結んだ線分が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置にある。小球の大きさは無視でき、小球は溝の断面を含む鉛直面内で溝の内面にそって運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球がはじめて溝の最下点を通過する瞬間に、小球が溝の内面から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, $g$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。

質量 $M$、底面の半径 $R$、高さ $h$ の一様な直円錐（中身のつまった円錐）がある。円錐の頂点を $\mathrm{O}$ とし、$\mathrm{O}$ を原点として、円錐の対称軸（$\mathrm{O}$ から底面の中心へ向かう向き）を $z$ 軸、それに垂直な 2 方向を $x$ 軸、$y$ 軸とする直交座標をとる。

点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソルの 3 つの主慣性モーメントがすべて等しくなる（$\mathrm{O}$ を固定点とするとき、この円錐が球こまとしてふるまう）ための $h$ を、$R$ を用いて表せ。ただし $R>0$, $h>0$ とする。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=-\frac{k{e}^{-r/a}}{r}$$
（$k$, $a$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力以外の力ははたらかず、非相対論的な古典力学で考える。

はじめ、質点は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$ の円軌道を等速で回っていた。このとき、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量を変えないように、軌道面内で質点に半径方向のごく小さな乱れを与えた。その後、質点と $\mathrm{O}$ の距離 $r$ は $a$ の近くで振動する。

$r$ が極小になってから次に $r$ が極小になるまでのあいだに、質点が $\mathrm{O}$ のまわりに回る角 $\Delta \phi$（ラジアン）を求めよ。ただし、乱れは十分小さいとして、$r-a$ について 1 次の近似（微小振動の近似）で考えよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の容器が置かれている。容器の内面は、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半球面（ふちが水平で、下に向かってへこんだ面）で、なめらかである。容器は床の上を水平方向に自由にすべって動けるが、傾いたり回転したりはしない。

はじめ容器は静止しており、質量 $m$ の小球を容器の内面上の点 $\mathrm{P}$ に置いて静かにはなした。$\mathrm{P}$ は、$\mathrm{O}$ を通る鉛直線と線分 $\mathrm{OP}$ のなす角が $60^{\circ }$ となる点で、小球と $\mathrm{O}$ を含む鉛直面内で運動が起こるものとする。

小球が容器の内面の最下点を通過する瞬間に、容器の内面が小球に及ぼす垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, 重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。小球の大きさと空気抵抗は無視する。

質量 $M$ の恒星 $\mathrm{S}$ の重力だけを受けて、探査機が運動する。恒星は静止しているとみなし、探査機の質量は $M$ に比べて十分小さいとする。$G$ を万有引力定数とする。

探査機は恒星から十分遠く離れたところから、速さ $v_{\infty }$ で近づいてくる。遠方での探査機の速度の向きにそった直線と $\mathrm{S}$ の距離（衝突パラメータ）は
$$b=\frac{\sqrt{3}GM}{v_{\infty }^2}$$
である。探査機は恒星の表面にふれることなく恒星のそばを通過し、再び十分遠くへ飛び去った。

飛び去ったあとの十分遠方での探査機の速度の向きが、近づいてくるときの速度の向きから変わった角（偏向角）$\chi$（$0<\chi <\pi$）を、弧度法で求めよ。

質量 $m$ の質点 $\mathrm{P}$ が、固定された点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=-\frac{k}{r}-\frac{\beta }{r^3}$$
（$k$, $\beta$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力（中心力）だけがはたらき、運動は相対論の効果を考えない古典力学にしたがうものとする。

質点 $\mathrm{P}$ は、はじめ $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r_0$ の安定な円軌道を回っていた。この運動に、軌道面内でわずかな乱れを加えたところ、$\mathrm{P}$ の $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ は $r_0$ の近くで微小振動するようになった。ずれの 1 次の近似で、$r$ が 1 回振動する間（近点から次の近点まで）に、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ のまわりをちょうど 2 周した（動径ベクトルが角度 $4\pi$ だけ回転した）。

このときの円軌道の半径 $r_0$ を、$k$, $\beta$ を用いて表せ。

鉛直な軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で回転する回転台に、なめらかな曲面がしっかり固定されている。曲面の最下点 $\mathrm{O}$ は回転軸上にある。回転台とともに回転する座標系で、$\mathrm{O}$ を原点とし、水平面内に互いに直交する $x$ 軸と $y$ 軸を、鉛直上向きに $z$ 軸をとる。$\mathrm{O}$ の近くで、曲面は
$$z=\frac{x^2}{2R}+\frac{y^2}{R}$$
で表される（$R$ は正の定数）。曲面はこの回転座標系に対して静止している。

質量 $m$ の質点が、この曲面上を摩擦なしにすべって動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、回転の角速度は $\Omega =\sqrt{\frac{g}{3R}}$ に設定されている。質点は曲面から離れないものとし、空気抵抗は無視する。

質点を $\mathrm{O}$ の近くでわずかにずらすと、質点は回転座標系から見て $\mathrm{O}$ のまわりで微小振動する。$x$, $y$ およびその時間微分について 1 次の近似で運動方程式を立てたとき、回転座標系から見た 2 つの基準振動の角振動数（正の値）を、$g$, $R$ を用いて小さい順に組で求めよ。