力学（質点・剛体）の問題

重力や空気抵抗などの外力がはたらかない空間で、静止していたロケットが一直線上を加速する。ロケットは燃料ガスを、ロケットに対して常に一定の速さ $u$ で、進行方向と逆向きに噴射し続ける。燃料を含めたロケットのはじめの質量は $m_0$ で、燃料を使いきったときの質量は $\frac{m_0}{3}$ であった。燃料を使いきったときのロケットの速さを $u$ を用いて表せ。ただし、速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学で扱えるものとする。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $\phi$（$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。

地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、$m$, $\Omega$, $v$, $\phi$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が運動している。水平面上の定点 $\mathrm{O}$ を原点とする極座標 $(r,\phi )$ を用いると、時刻 $t(t>0)$ における小物体の位置は
$$r=bt,\phi =\omega t$$
と表される。ここで $b$, $\omega$ は正の定数である。小物体にはたらく水平面内の合力の $\phi$ 成分（$\phi$ が増える向きを正とする）を、$m$, $b$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の小球を、時刻 $t=0$ に静かにはなして鉛直下向きに落下させる。小球は重力 $mg$ と、速度に比例する空気の抵抗力 $-bv$ を受けるものとする。ここで $v$ は鉛直下向きを正とした小球の速度、$b$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。浮力は無視する。

小球の速さが終端速度の大きさの $\frac{1}{2}$ に達する時刻を、$m$, $b$ を用いて表せ。