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力学（質点・剛体）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理力学（質点・剛体）

重力や空気抵抗などの外力がはたらかない空間で、静止していたロケットが一直線上を加速する。ロケットは燃料ガスを、ロケットに対して常に一定の速さ $u$ で、進行方向と逆向きに噴射し続ける。燃料を含めたロケットのはじめの質量は $m_{0}$ で、燃料を使いきったときの質量は $\frac{m _{0}}{3}$ であった。燃料を使いきったときのロケットの速さを $u$ を用いて表せ。ただし、速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学で扱えるものとする。

u

進行方向ガス（ロケットに対して）

この問題で使うもの

質量が変化する系（ロケット）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ロケットと噴射したガスを合わせた系では、外力がないので運動量が保存する。微小時間 $d t$ のあいだの運動量の変化を考える。

ヒント 2

噴射したガスの地上から見た速度は $v - u$ 。運動量保存から $m d v = - u d m$ が得られる。

ヒント 3

$d v = - u \frac{d m}{m}$ を、質量が $m_{0}$ から $m_{0} /3$ になるまで積分する。

答えと解説

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u lo g 3

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解説を読む

ロケットの進行方向を正とし、時刻 $t$ でのロケットの質量を $m$ 、速度を $v$ とする。

運動量保存

外力がはたらかないので、ロケットと噴射したガスを合わせた系の運動量は保存する。時刻 $t$ から $t + d t$ のあいだに、ロケットが質量 $- d m (> 0)$ のガスを噴射し、ロケットの速度が $v + d v$ になったとする。噴射されたガスの速度は、ロケットに対して $- u$ なので、地上（はじめにロケットが静止していた慣性系）から見て $v - u$ である（ $d v$ の効果は 2 次の微小量なので無視する）。運動量保存は
$m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - u) .$
右辺を展開して 2 次の微小量 $d m d v$ を無視すると
$m v = m v + m d v + v d m - v d m + u d m, m d v = - u d m .$

積分

$d v = - u \frac{d m}{m}$
を $v : 0 \to v_{1}$ 、 $m : m_{0} \to \frac{m _{0}}{3}$ で積分すると
$v_{1} = - u [lo g m]_{m_{0}}^{m_{0} /3} = u lo g \frac{m _{0}}{m _{0} /3} = u lo g 3.$

別解

時刻 $t$ でのロケットの質量を $m$ 、速さを $v$ とする。微小時間 $d t$ に質量 $d m_{g} = - d m > 0$ のガスをロケットに対して速さ $u$ で後方に噴射する。外力がないので運動量保存より、噴射前の運動量 $m v$ と、噴射後のロケット $(m + d m) (v + d v)$ とガス $(- d m) (v - u)$ の運動量の和が等しい。

$m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - u)$

2 次の微小量を無視して整理すると $0 = m d v + u d m$ 、すなわち $d v = - u \frac{d m}{m}$ 。

$v = 0$ 、 $m = m_{0}$ から $m = \frac{m _{0}}{3}$ まで積分すると
$v = - u ln \frac{m _{0} /3}{m _{0}} = u ln 3$ 。

検算: $m_{0} / m = 3$ を $v = u ln (m_{0} / m)$ に代入して $u ln 3 \approx 1.10 u$ 。質量比が $e$ なら速さ $u$ となる既知の結果（ツィオルコフスキーの式）と整合する。

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