力学（質点・剛体）の問題

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{3}a$、$\mathrm{BC}=a$ である。板の中心（重心）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ に一致する固定軸のまわりに、一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。軸は板に固定されていて、軸受けによって空間に対して固定されている。

板の厚さは無視でき、重力や摩擦などの影響は考えないものとする。このとき、回転を一定に保つために軸（軸受け）が板に及ぼしている、$\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面には、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半円形の断面をもつ溝がほられており、溝の内面はなめらかである。溝の断面は鉛直面内にあり、台はこの面内で床にそって水平方向にだけ動ける。

はじめ台は静止しており、質量 $m$ の小球を溝の内面上の点で静かに放す。放す点は、$\mathrm{O}$ と結んだ線分が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置にある。小球の大きさは無視でき、小球は溝の断面を含む鉛直面内で溝の内面にそって運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球がはじめて溝の最下点を通過する瞬間に、小球が溝の内面から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, $g$ を用いて表せ。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=a$、$\mathrm{BC}=2a$ である。板の中心（対角線の交点）を $\mathrm{O}$ とする。この板を、対角線 $\mathrm{AC}$ を含む直線を回転軸として、軸受けで支えて一定の角速度 $\omega$ で回転させ続ける。回転軸は空間に固定されており、重力など軸受け以外からはたらく力の影響は考えない。板の厚さは無視できるものとする。

このとき、回転を保つために軸受けが板に及ぼす、点 $\mathrm{O}$ のまわりの力のモーメント（トルク）の大きさを、$M$, $a$, $\omega$ を用いて表せ。