力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の容器が置かれている。容器の内面は、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半球面（ふちが水平で、下に向かってへこんだ面）で、なめらかである。容器は床の上を水平方向に自由にすべって動けるが、傾いたり回転したりはしない。

はじめ容器は静止しており、質量 $m$ の小球を容器の内面上の点 $\mathrm{P}$ に置いて静かにはなした。$\mathrm{P}$ は、$\mathrm{O}$ を通る鉛直線と線分 $\mathrm{OP}$ のなす角が $60^{\circ }$ となる点で、小球と $\mathrm{O}$ を含む鉛直面内で運動が起こるものとする。

小球が容器の内面の最下点を通過する瞬間に、容器の内面が小球に及ぼす垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, 重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。小球の大きさと空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面の上に、質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$（重心 $\mathrm{G}$）が静止している。棒は水平面の上で固定されておらず、自由に動ける。質量 $m$ の小球 $\mathrm{P}$ が、水平面の上を棒に垂直な向きに速さ $v_0$ で進み、棒の端 $\mathrm{A}$ に衝突した。

衝突は瞬間的に起こる弾性衝突（衝突の前後で力学的エネルギーが保存する）であり、小球と棒のあいだに摩擦はなく、小球は大きさの無視できる質点とみなす。水平面と棒・小球のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。

衝突の直後に、棒が重心 $\mathrm{G}$ のまわりに回転する角速度の大きさ $\omega$ を、$m$, $M$, $L$, $v_0$ を用いて表せ。

細くてまっすぐなパイプが水平に置かれ、鉛直な固定軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で水平面内を回転している。パイプは回転軸と点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わっている。パイプの中には質量 $m$ の小球が入っており、小球はパイプにそってなめらかに（摩擦なく）動ける。小球の大きさは無視でき、パイプは十分に長いものとする。

はじめ、小球は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置で、パイプに対して静止していた。この状態から小球はパイプにそって外側へ動きだす。小球が $\mathrm{O}$ から距離 $2r_0$ の位置を通過する瞬間に、パイプが小球におよぼす力の水平成分の大きさを、$m$, $\omega$, $r_0$ を用いて表せ。ただし、重力は鉛直下向きにはたらき、パイプが小球におよぼす力の鉛直成分が重力とつりあっているものとする。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。