力学（質点・剛体）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理力学（質点・剛体）

なめらかな水平面の上に、質量 $M$ 、長さ $L$ の一様な細い棒 $AB$ （重心 $G$ ）が静止している。棒は水平面の上で固定されておらず、自由に動ける。質量 $m$ の小球 $P$ が、水平面の上を棒に垂直な向きに速さ $v_{0}$ で進み、棒の端 $A$ に衝突した。

衝突は瞬間的に起こる弾性衝突（衝突の前後で力学的エネルギーが保存する）であり、小球と棒のあいだに摩擦はなく、小球は大きさの無視できる質点とみなす。水平面と棒・小球のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。

衝突の直後に、棒が重心 $G$ のまわりに回転する角速度の大きさ $ω$ を、 $m$ , $M$ , $L$ , $v_{0}$ を用いて表せ。

A

B

G

P

v_{0}

水平面を上から見た図

この問題で使うもの

運動量保存則（説明と入口の問題）
角運動量とトルク（説明と入口の問題）
慣性モーメントの計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

水平方向に外力がはたらかないので、運動量と角運動量が保存します。弾性衝突なので運動エネルギーも保存します。未知数は小球の速度 $v$ 、棒の重心の速度 $V$ 、角速度 $ω$ の 3 つです。

ヒント 2

棒の重心のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{12} M L^{2}$ です。角運動量は、衝突の瞬間に $G$ がある固定点のまわりで考えると $m v_{0} \frac{L}{2} = m v \frac{L}{2} + \frac{1}{12} M L^{2} ω$ となります。

ヒント 3

運動量保存と角運動量保存から $V = \frac{m ( v _{0} - v )}{M}$ 、 $\frac{L ω}{2} = \frac{3 m ( v _{0} - v )}{M}$ が得られます。これをエネルギー保存の式に代入すると $v_{0} + v = \frac{4 m ( v _{0} - v )}{M}$ となります。

答えと解説

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\frac{12 m v _{0}}{( 4 m + M ) L}

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解説を読む

小球のはじめの進む向きを正とし、衝突直後の小球の速度を $v$ 、棒の重心の速度を $V$ 、棒の角速度を $ω$ （小球が $A$ を押して回す向きを正）とする。棒の重心のまわりの慣性モーメントは
$I_{G} = \frac{1}{12} M L^{2}$
である。

運動量保存：水平面はなめらかで、水平方向に外力ははたらかない（重力と垂直抗力は鉛直方向でつり合う）。衝突中の力は内力だけなので、全運動量が保存する。
$m v_{0} = m v + M V (1)$

角運動量保存：同じ理由で、水平面内の運動について外力のモーメントはないから、空間に固定した点（衝突の瞬間に $G$ がある位置）のまわりの角運動量が保存する。小球の運動の線は $G$ から距離 $\frac{L}{2}$ を通るので
$m v_{0} \cdot \frac{L}{2} = m v \cdot \frac{L}{2} + \frac{1}{12} M L^{2} ω (2)$

エネルギー保存：弾性衝突なので運動エネルギーが保存する。
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} M L^{2} ω^{2} (3)$

$(1)$ より $M V = m (v_{0} - v)$ 、 $(2)$ より $\frac{M L}{6} ω = m (v_{0} - v)$ なので
$V = \frac{m ( v _{0} - v )}{M}, \frac{L ω}{2} = \frac{3 m ( v _{0} - v )}{M} .$
$(3)$ を $m (v_{0}^{2} - v^{2}) = M V^{2} + \frac{M L ^{2}}{12} ω^{2}$ と変形し、右辺に代入すると
$M V^{2} + \frac{M}{3} (\frac{L ω}{2})^{2} = \frac{m ^{2} ( v _{0} - v ) ^{2}}{M} + \frac{3 m ^{2} ( v _{0} - v ) ^{2}}{M} = \frac{4 m ^{2} ( v _{0} - v ) ^{2}}{M} .$
$v \neq = v_{0}$ なので両辺を $m (v_{0} - v)$ で割ると
$v_{0} + v = \frac{4 m ( v _{0} - v )}{M}$
（これは、衝突直後の端 $A$ の速度 $V + \frac{L ω}{2}$ と小球の速度の差が $v_{0}$ に等しいこと、すなわち反発係数 $1$ を表す）。これを解いて
$v = \frac{4 m - M}{4 m + M} v_{0}, v_{0} - v = \frac{2 M}{4 m + M} v_{0} .$
よって
$\frac{L ω}{2} = \frac{3 m}{M} \cdot \frac{2 M v _{0}}{4 m + M} = \frac{6 m v _{0}}{4 m + M}, ω = \frac{12 m v _{0}}{( 4 m + M ) L} .$

（確認： $V = \frac{2 m v _{0}}{4 m + M}$ とあわせて $(3)$ の右辺を計算すると $\frac{m [( 4 m - M ) ^{2} + 16 m M ] v _{0}^{2}}{2 ( 4 m + M ) ^{2}} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ となり、成り立つ。）

別解

棒の重心まわりの慣性モーメントは $I = \frac{1}{12} M L^{2}$ 。衝突点 A は重心から $L /2$ の距離にある。小球の衝突後の速度を $v$ （入射方向を正）、棒の重心速度を $V$ 、角速度を $ω$ とする。

運動量保存: $m v_{0} = m v + M V$
角運動量保存（重心まわり）: $m v_{0} \frac{L}{2} = m v \frac{L}{2} + I ω$ 。したがって $m (v_{0} - v) \frac{L}{2} = \frac{M L ^{2}}{12} ω$ より $m (v_{0} - v) = \frac{M L}{6} ω$ 。
運動量保存から $m (v_{0} - v) = M V$ なので $V = \frac{L}{6} ω$ 。

弾性衝突（エネルギー保存）: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$ 。
$m (v_{0}^{2} - v^{2}) = M V^{2} + I ω^{2}$ 。
$m (v_{0} - v) (v_{0} + v) = M V^{2} + I ω^{2}$ 。
ここで $m (v_{0} - v) = M V$ を用いると $M V (v_{0} + v) = M V^{2} + I ω^{2}$ 。
$I ω^{2} = \frac{M L ^{2}}{12} ω^{2}$ 、 $V = \frac{L}{6} ω$ より $M V^{2} = \frac{M L ^{2}}{36} ω^{2}$ 。
$V (v_{0} + v) = \frac{L}{6} ω (v_{0} + v)$ なので、
$\frac{L}{6} ω (v_{0} + v) = \frac{L ^{2}}{36} ω^{2} + \frac{L ^{2}}{12} ω^{2} = \frac{L ^{2}}{9} ω^{2}$ 。
$ω \neq = 0$ より $v_{0} + v = \frac{2 L}{3} ω$ 。

一方 $v = v_{0} - \frac{M}{m} V = v_{0} - \frac{M L}{6 m} ω$ 。
これを代入: $2 v_{0} - \frac{M L}{6 m} ω = \frac{2 L}{3} ω$ 。
$2 v_{0} = L ω (\frac{2}{3} + \frac{M}{6 m}) = L ω \frac{4 m + M}{6 m}$ 。

$ω = \frac{12 m v _{0}}{( 4 m + M ) L}$ 。

検算: 相対速度の式として、A点の速度 $V + \frac{L}{2} ω = \frac{L}{6} ω + \frac{L}{2} ω = \frac{2 L}{3} ω$ で、反発係数1より $u_{A} - v = v_{0}$ 、つまり $\frac{2 L}{3} ω = v_{0} + v$ となり上と一致する。

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