力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平面の上に、質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$（重心 $\mathrm{G}$）が静止している。棒は水平面の上で固定されておらず、自由に動ける。質量 $m$ の小球 $\mathrm{P}$ が、水平面の上を棒に垂直な向きに速さ $v_0$ で進み、棒の端 $\mathrm{A}$ に衝突した。

衝突は瞬間的に起こる弾性衝突（衝突の前後で力学的エネルギーが保存する）であり、小球と棒のあいだに摩擦はなく、小球は大きさの無視できる質点とみなす。水平面と棒・小球のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。

衝突の直後に、棒が重心 $\mathrm{G}$ のまわりに回転する角速度の大きさ $\omega$ を、$m$, $M$, $L$, $v_0$ を用いて表せ。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒の中心を $\mathrm{G}$ とする。棒の $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ のあいだの点 $\mathrm{P}$ に小さな穴をあけ、その穴に、棒に垂直な水平の固定軸を通して棒をつるす。棒は軸のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転でき、$\mathrm{PG}=x$ $\left(0<x\le \frac{L}{2}\right)$ とする。穴による質量分布の変化と空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒を鉛直なつり合いの位置から少し傾けて放すと、棒は微小振動をする。点 $\mathrm{P}$ の位置（$x$）をいろいろに変えたとき、この微小振動の周期の最小値を $L$, $g$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面には、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半円形の断面をもつ溝がほられており、溝の内面はなめらかである。溝の断面は鉛直面内にあり、台はこの面内で床にそって水平方向にだけ動ける。

はじめ台は静止しており、質量 $m$ の小球を溝の内面上の点で静かに放す。放す点は、$\mathrm{O}$ と結んだ線分が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置にある。小球の大きさは無視でき、小球は溝の断面を含む鉛直面内で溝の内面にそって運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球がはじめて溝の最下点を通過する瞬間に、小球が溝の内面から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, $g$ を用いて表せ。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒上で端 $\mathrm{A}$ から距離 $\frac{L}{4}$ の点を $\mathrm{P}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通り棒に垂直な軸のまわりの、棒の慣性モーメントを $M$, $L$ を用いて表せ。ただし、棒の太さは無視できるものとする。