力学（質点・剛体）の問題

$xyz$ 座標空間で、質量 $m$ の 2 つの質点が点 $\mathrm{A}(a,0,0)$ と点 $\mathrm{B}(a,a,0)$ にあり、原点 $\mathrm{O}$ と軽い棒で固定されて 1 つの剛体をなしている（$a>0$）。棒の質量は無視できる。

この剛体の原点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソル $I_{ij}=\sum m(r^2{\delta }_{ij}-x_i{x}_j)$ を求め、原点 $\mathrm{O}$ のまわりの 3 つの主慣性モーメントのうち最小のものを、$m$, $a$ を用いて表せ。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒の中心を $\mathrm{G}$ とする。棒の $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ のあいだの点 $\mathrm{P}$ に小さな穴をあけ、その穴に、棒に垂直な水平の固定軸を通して棒をつるす。棒は軸のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転でき、$\mathrm{PG}=x$ $\left(0<x\le \frac{L}{2}\right)$ とする。穴による質量分布の変化と空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒を鉛直なつり合いの位置から少し傾けて放すと、棒は微小振動をする。点 $\mathrm{P}$ の位置（$x$）をいろいろに変えたとき、この微小振動の周期の最小値を $L$, $g$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ が静止して置かれている。棒上の点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AC}=\frac{\ell }{4}$ を満たす。点 $\mathrm{C}$ に、水平で棒に垂直な向きに大きさ $J$ の力積を瞬間的に加えた。力積を加えた直後の端 $\mathrm{B}$ の速さを $M$, $J$ を用いて表せ。ただし、台と棒のあいだの摩擦は無視し、力積を加えるあいだ棒の位置は変わらないものとする。

厚さが一様で薄い、半径 $R$ の円板（中心 $\mathrm{O}$）から、中心 ${\mathrm{O}}^{\prime }$ が $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=\frac{R}{2}$ を満たす半径 $\frac{R}{2}$ の円板を切り取って、穴のあいた板をつくった（切り取る円板は、もとの円板の内部にあり、$\mathrm{O}$ を通る）。もとの円板は一様な材質でできており、穴をあけたあとの板の質量は $M$ である。

この板の、点 $\mathrm{O}$ を通り板の面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント $I$ を、$M$, $R$ を用いて求めよ。