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力学（質点・剛体）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理力学（質点・剛体）

厚さが一様で薄い、半径 $R$ の円板（中心 $O$ ）から、中心 $O^{'}$ が $O O^{'} = \frac{R}{2}$ を満たす半径 $\frac{R}{2}$ の円板を切り取って、穴のあいた板をつくった（切り取る円板は、もとの円板の内部にあり、 $O$ を通る）。もとの円板は一様な材質でできており、穴をあけたあとの板の質量は $M$ である。

この板の、点 $O$ を通り板の面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント $I$ を、 $M$ , $R$ を用いて求めよ。

O

O^{'}

R

穴

板を面に垂直な向きから見た図（小さい円の内側が穴）

この問題で使うもの

慣性モーメントの計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

穴のあいた板 = (穴のない円板) − (切り取った円板) と考え、慣性モーメントを引き算する。

ヒント 2

まず面密度を $M$ で表し、もとの円板と切り取った円板の質量を求める。切り取った円板は、平行軸の定理 $I = I_{G} + m d^{2}$ で $O$ のまわりの値にする。

ヒント 3

もとの円板の質量は $\frac{4}{3} M$ 、切り取った円板の質量は $\frac{1}{3} M$ になる。それぞれの $O$ のまわりの慣性モーメントを計算する。

答えと解説

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\frac{13}{24} M R^{2}

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解説を読む

考え方 穴のあいた板の慣性モーメントは、「穴のない円板の慣性モーメント」から「切り取った円板の慣性モーメント」を引けば求められる（慣性モーメントは質量要素ごとの $r^{2} d m$ の和なので、領域について足し引きできる）。

質量板の面密度を $σ$ とすると、穴をあけたあとの面積は $π R^{2} - π (\frac{R}{2})^{2} = \frac{3}{4} π R^{2}$ なので
$σ = \frac{M}{\frac{3}{4} π R ^{2}} = \frac{4 M}{3 π R ^{2}}$
よって、穴のないもとの円板の質量 $M_{1}$ と、切り取った円板の質量 $M_{2}$ は
$M_{1} = σ π R^{2} = \frac{4}{3} M, M_{2} = σ π (\frac{R}{2})^{2} = \frac{1}{3} M$

もとの円板 中心を通り面に垂直な軸のまわりの一様な円板の慣性モーメントは $\frac{1}{2} (質量) (半径)^{2}$ なので
$I_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} M \cdot R^{2} = \frac{2}{3} M R^{2}$

切り取った円板 自分の中心 $O^{'}$ のまわりでは $\frac{1}{2} M_{2} (\frac{R}{2})^{2}$ 。 $O$ を通る軸はこれと平行で、距離 $\frac{R}{2}$ だけ離れているので、平行軸の定理より
$I_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{3} \cdot \frac{R ^{2}}{4} + \frac{M}{3} \cdot \frac{R ^{2}}{4} = \frac{M R ^{2}}{24} + \frac{M R ^{2}}{12} = \frac{M R ^{2}}{8}$

答え
$I = I_{1} - I_{2} = \frac{2}{3} M R^{2} - \frac{1}{8} M R^{2} = \frac{16 - 3}{24} M R^{2} = \frac{13}{24} M R^{2}$

別解

面密度を $σ$ とする。もとの円板の質量は $σ π R^{2}$ 、切り取った円板(半径 $\frac{R}{2}$ )の質量は $σ π \frac{R ^{2}}{4}$ で、残った板の質量は $M = \frac{3}{4} σ π R^{2}$ 。よってもとの円板の質量は $M_{0} = \frac{4}{3} M$ 、切り取った円板の質量は $m = \frac{1}{3} M$ 。もとの円板の O のまわりの慣性モーメントは $I_{0} = \frac{1}{2} M_{0} R^{2} = \frac{2}{3} M R^{2}$ 。切り取った円板の O'(中心)のまわりの値は $\frac{1}{2} m (\frac{R}{2})^{2} = \frac{1}{8} m R^{2}$ で、平行軸の定理により O のまわりでは $\frac{1}{8} m R^{2} + m (\frac{R}{2})^{2} = \frac{3}{8} m R^{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{M}{3} R^{2} = \frac{1}{8} M R^{2}$ 。したがって $I = \frac{2}{3} M R^{2} - \frac{1}{8} M R^{2} = \frac{16 - 3}{24} M R^{2} = \frac{13}{24} M R^{2}$ 。検算: 面密度で直接計算すると $σ π R^{4} (\frac{1}{2} - \frac{3}{32}) = \frac{13}{32} σ π R^{4}$ 、 $M = \frac{3}{4} σ π R^{2}$ より $σ π R^{2} = \frac{4 M}{3}$ で $I = \frac{13}{32} \cdot \frac{4}{3} M R^{2} = \frac{13}{24} M R^{2}$ と一致する。

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