力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円柱が、中心軸を水平にして粗い水平な床の上に置かれている。円柱の側面に軽くて伸びない糸を巻きつけ、糸の端を円柱の最上部から水平に引き出して、一定の大きさ $F$ の力で水平に引く。円柱は床の上をすべらずに転がった。このとき円柱の中心の加速度の大きさを $M$, $F$ を用いて表せ。ただし、糸は円柱の側面に対してすべらず、糸は常に円柱の最上部から水平にのびているものとし、転がり摩擦と空気抵抗は無視する。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

質量 $m$ の小球を、時刻 $t=0$ に静かにはなして鉛直下向きに落下させる。小球は重力 $mg$ と、速度に比例する空気の抵抗力 $-bv$ を受けるものとする。ここで $v$ は鉛直下向きを正とした小球の速度、$b$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。浮力は無視する。

小球の速さが終端速度の大きさの $\frac{1}{2}$ に達する時刻を、$m$, $b$ を用いて表せ。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒上で端 $\mathrm{A}$ から距離 $\frac{L}{4}$ の点を $\mathrm{P}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通り棒に垂直な軸のまわりの、棒の慣性モーメントを $M$, $L$ を用いて表せ。ただし、棒の太さは無視できるものとする。