力学（質点・剛体）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理力学（質点・剛体）

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、 $m$ , $M$ , $g$ , $h$ を用いて表せ。ただし、 $g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

m

M

h

台と小物体（はなす前）

この問題で使うもの

重心運動と相対運動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 体系の運動を重心運動と相対運動に分け、水平方向の運動量保存とエネルギー保存を組み合わせる。曲面の下端で接線が水平なので、水平面に達したときは小物体も台も水平に動いている。

ヒント 2

水平方向の運動量は $0$ のまま保存するので重心は水平に動かず、運動エネルギーの和は換算質量 $μ = \frac{m M}{m + M}$ を使って $\frac{1}{2} μ u^{2}$ （ $u$ は相対速度）と書ける。

ヒント 3

力学的エネルギー保存より $\frac{1}{2} μ u^{2} = m g h$ 。これを $u$ について解く。

答えと解説

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\frac{2 g h ( m + M )}{M}

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解説を読む

小物体が台の水平面に達したとき、床に対する小物体の速度を $v$ 、台の速度を $V$ （水平右向きを正）とする。

このときの速度の向き　台は床の上を水平にしか動かないので、台の速度は水平である。小物体の台に対する相対速度は、曲面の下端での接線の向きであり、曲面の下端の接線は水平なので、相対速度も水平である。よって、床に対する小物体の速度（台の速度と相対速度の和）も水平である。

重心運動（運動量保存）　小物体と台からなる物体系にはたらく外力は、重力と床からの垂直抗力で、どちらも鉛直方向である（床はなめらか）。よって水平方向の運動量は保存し、はじめはどちらも静止しているので
$m v + M V = 0$
すなわち重心は水平方向に動かない。

相対運動に分ける　台に対する小物体の相対速度を $u = v - V$ とすると、 $m v + M V = 0$ と合わせて
$v = \frac{M}{m + M} u, V = - \frac{m}{m + M} u$
である。運動エネルギーの和は
$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m M ^{2} + M m ^{2}}{( m + M ) ^{2}} u^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m M}{m + M} u^{2} = \frac{1}{2} μ u^{2}$
となる。ここで $μ = \frac{m M}{m + M}$ は換算質量である。

エネルギー保存　面はすべて摩擦がなく、台と小物体のあいだの垂直抗力は作用・反作用の対であり、その仕事の和は $0$ になる（垂直抗力は相対運動の向きに垂直）。床の垂直抗力も仕事をしない（台は鉛直方向に動かない）。よって物体系の力学的エネルギーは保存し、小物体が高さ $h$ だけ下がることで
$\frac{1}{2} μ u^{2} = m g h$
が成り立つ。したがって
$u^{2} = \frac{2 m g h}{μ} = \frac{2 m g h ( m + M )}{m M} = \frac{2 g h ( m + M )}{M}$
$u = \frac{2 g h ( m + M )}{M}$
である。

別解

床の上の水平方向の外力はないので水平運動量が保存される。小物体が水平面に達したとき、床に対する小物体の速さを $v$ 、台の速さを $V$ （逆向き）とすると $m v = M V$ 。力学的エネルギー保存より $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2}$ 。相対速度の大きさ $u = v + V$ 。運動量保存から $v = \frac{M}{m + M} u$ , $V = \frac{m}{m + M} u$ 。エネルギーに代入: $m g h = \frac{1}{2} \frac{m M ^{2} + M m ^{2}}{( m + M ) ^{2}} u^{2} = \frac{1}{2} \frac{m M}{m + M} u^{2}$ 。よって $u^{2} = \frac{2 ( m + M ) g h}{M}$ 、 $u = \frac{2 ( m + M ) g h}{M}$ 。検算: $M \to \infty$ で $u \to 2 g h$ （固定された台の場合）に一致する。

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