力学（質点・剛体）の問題

内側の半径が $10.0\mathrm{cm}$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega =12.0rad/s$ で回転させた。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系で静止した。このとき、水面の容器の内壁での高さと中心軸上での高さの差は何 $\mathrm{cm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水は容器からあふれず、容器の底は水面より下で露出しないものとする。表面張力は無視する。

地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $\phi$（$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。

地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、$m$, $\Omega$, $v$, $\phi$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。