回転座標系と遠心力

一定の角速度 $ω$ で回転する座標系で、遠心力 $m ω^{2} r$ （遠心力のポテンシャル $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ ）を加えたつり合いを立て、回転する輪の上の玉の静止位置や、回転する容器の水面の形 $z = \frac{ω ^{2} r ^{2}}{2 g}$ を求められる

前提

慣性力（高校物理力と運動）
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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算数中学高校大学大学院

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向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

一定の角速度 $ω$ で回転する台や容器といっしょに回る観測者から見ると、物体には実際の力のほかに、回転軸から外向きの遠心力 $m ω^{2} r$ （ $r$ は回転軸からの距離）がはたらくように見えます。この力を加えると、回転系で静止している物体は「つり合い」の問題として扱えます。この技能で、回転する輪にはめた玉がどこで静止するかや、回転する容器の水面が放物面 $z = \frac{ω ^{2} r ^{2}}{2 g}$ になることなどを求められるようになります。遠心力の位置エネルギー $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ を使うと、曲面や水面の形も見通しよく求められます。

なぜそうしてよいのか

慣性系（地面）から見ると、回転軸のまわりを半径 $r$ 、角速度 $ω$ で等速円運動する物体は、軸に向かう加速度 $r ω^{2}$ をもっています。回転系の観測者にとってこの物体は静止しているので、前提の慣性力の考え方に従い、観測者自身の加速度（その位置で軸向きに $r ω^{2}$ ）と逆向きの慣性力 $m \cdot r ω^{2}$ を、軸から外向きに加えます。これが遠心力です。すると慣性系での円運動の式「実際の力の中心向き成分 $= m r ω^{2}$ 」は、回転系では「実際の力 $+$ 遠心力 $= 0$ 」というつり合いの式と全く同じ内容になります。ただし、回転系で物体が動いている場合には別の慣性力も加わるので、ここでは回転系で静止している物体だけを扱います。

遠心力は軸からの距離 $r$ に比例して大きくなる、ばねの力を逆向きにしたような力です。物体を軸上から距離 $r$ の位置まで外向きに運ぶ間に遠心力がする仕事は、横軸 $r$ ・縦軸 $m ω^{2} r$ のグラフの三角形の面積 $\frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ です。したがって、軸上を基準にした遠心力の位置エネルギーは $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ （外へ行くほど低い）となります。重力の位置エネルギー $m g z$ と合わせた $m g z - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ が、回転系での「有効な位置エネルギー」です。

回転する容器の水が静止して見えるとき、水面に沿って水の小さなかたまりを動かしても、重力と遠心力の合計の仕事は 0 でなければなりません（そうでなければ水は水面に沿って流れてしまいます）。つまり水面上では $g z - \frac{1}{2} ω^{2} r^{2}$ が一定です。軸上の水面の高さを $z = 0$ とすると $z = \frac{ω ^{2} r ^{2}}{2 g}$ となり、水面は軸から離れるほど高い放物面になります。

手順

回転系（一定の角速度 $ω$ で回る観測者）から見て、物体が静止していることを確かめる。
物体にはたらく実際の力（重力・垂直抗力・張力など）をすべて図示する。
回転軸からの距離 $r$ を求め、軸から垂直に外向きの遠心力 $m ω^{2} r$ を書き加える。
実際の力と遠心力のつり合いを、扱いやすい 2 方向（水平・鉛直、または接線・法線）の成分で書く。曲面や水面の形を求めるときは、有効な位置エネルギー $m g z - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ が一定という条件を使ってもよい。
得られた式を、求める量（角度・位置・抗力など）について解く。0 で割る操作をするときは、その量が 0 でない場合と 0 の場合を分けて調べる。

例題

半径 $R$ のなめらかな円形の輪が、鉛直な直径を回転軸として一定の角速度 $ω$ で回転している。輪には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は輪に沿って摩擦なく動ける。 $ω^{2} > \frac{g}{R}$ のとき、玉は輪の最下点以外の位置で輪に対して静止できる。その位置で、輪の中心と玉を結ぶ線分が鉛直下向きとなす角を $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）とするとき、 $cos θ$ を $g$ , $R$ , $ω$ を用いて求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とする。

例題の解答

手順 1: 輪とともに回る観測者から見ると、玉は角 $θ$ の位置で静止している。

手順 2: 玉にはたらく実際の力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）と、輪からの垂直抗力 $N$ （輪はなめらかなので、輪の接線に垂直）。

手順 3: 回転軸（鉛直な直径）から玉までの距離は $r = R sin θ$ 。遠心力は水平外向きで大きさ $m ω^{2} R sin θ$ 。

手順 4: 垂直抗力が入らない、輪の接線方向の成分でつり合いを書く。玉の位置での接線は水平から角 $θ$ だけ傾いている。最下点から遠ざかる向きを正にすると、重力の接線成分は $- m g sin θ$ 、遠心力の接線成分は $+ m ω^{2} R sin θ cos θ$ 。よって
$m ω^{2} R sin θ cos θ - m g sin θ = 0$

手順 5: $0 < θ < \frac{π}{2}$ より $sin θ \neq = 0$ なので両辺を $m sin θ$ で割って $ω^{2} R cos θ = g$ 、すなわち
$cos θ = \frac{g}{R ω ^{2}}$
$ω^{2} > \frac{g}{R}$ なのでこの値は $0$ と $1$ の間にあり、条件を満たす $θ$ が確かに存在する。（ $sin θ = 0$ の場合は最下点または最上点で、題意の位置ではない。）

答え: $\frac{g}{R ω ^{2}}$

よくある誤り

遠心力の大きさに、輪や容器の半径や、物体と輪の中心との距離を使ってしまう誤り。遠心力は回転軸からの距離 $r$ で決まる。上の例題なら $m ω^{2} R$ ではなく、正しくは $m ω^{2} R sin θ$ で、向きも輪の中心から外向きではなく回転軸から垂直に外向き（水平）。
慣性系で考えているのに遠心力を加え、さらに $m r ω^{2} = F$ も立てて二重に数えてしまう誤り。慣性系では「実際の力の中心向き成分 $= m r ω^{2}$ 」、回転系では「実際の力 $+$ 遠心力 $m ω^{2} r = 0$ 」のどちらか一方だけを使う。
$sin θ$ で割るときに $sin θ = 0$ の解を落とし、最下点 $θ = 0$ が常に静止位置であることを見逃したり、 $ω^{2} ≦ \frac{g}{R}$ でも $cos θ = \frac{g}{R ω ^{2}}$ の位置があるとしてしまう誤り。 $cos θ ≦ 1$ が必要なので、最下点以外の静止位置があるのは $ω^{2} > \frac{g}{R}$ のときだけ。
遠心力の位置エネルギーの符号を逆にして $+ \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ とし、水面を $z = - \frac{ω ^{2} r ^{2}}{2 g}$ （中央が盛り上がる形）としてしまう誤り。遠心力は外向きに正の仕事をするので位置エネルギーは $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ 。水面上で $g z - \frac{1}{2} ω^{2} r^{2}$ が一定なので、正しくは $z = \frac{ω ^{2} r ^{2}}{2 g}$ （軸上の水面を基準）で、周辺ほど高い。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $ω$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。
このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。 $a$ , $ω$ , $g$ を用いて表せ。ただし、 $g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。
$ω$ $a$
回転する容器の断面（中心軸を含む鉛直面）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コリオリ力（大学物理力学（質点・剛体））
位置によって変わる応力と自重による変形（大学物理流体力学・連続体）