力学（質点・剛体）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理力学（質点・剛体）

鉛直な軸のまわりに一定の角速度 $Ω$ で回転する回転台に、なめらかな曲面がしっかり固定されている。曲面の最下点 $O$ は回転軸上にある。回転台とともに回転する座標系で、 $O$ を原点とし、水平面内に互いに直交する $x$ 軸と $y$ 軸を、鉛直上向きに $z$ 軸をとる。 $O$ の近くで、曲面は
$z = \frac{x ^{2}}{2 R} + \frac{y ^{2}}{R}$
で表される（ $R$ は正の定数）。曲面はこの回転座標系に対して静止している。

質量 $m$ の質点が、この曲面上を摩擦なしにすべって動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、回転の角速度は $Ω = \frac{g}{3 R}$ に設定されている。質点は曲面から離れないものとし、空気抵抗は無視する。

質点を $O$ の近くでわずかにずらすと、質点は回転座標系から見て $O$ のまわりで微小振動する。 $x$ , $y$ およびその時間微分について 1 次の近似で運動方程式を立てたとき、回転座標系から見た 2 つの基準振動の角振動数（正の値）を、 $g$ , $R$ を用いて小さい順に組で求めよ。

x, y

z

O

Ω

質点

実線: 曲面と

x z

平面の交線（横軸を

x

と読む）、破線: 曲面と

y z

平面の交線（横軸を

y

と読む）

この問題で使うもの

回転座標系と遠心力（説明と入口の問題）
コリオリ力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

回転座標系で、遠心力とコリオリ力を加えて $x$ , $y$ 方向の運動方程式を立てる。垂直抗力の水平成分は、曲面の傾き（ $\partial z / \partial x$ , $\partial z / \partial y$ ）から 1 次の近似で求められる。

ヒント 2

運動方程式は $x ¨ = 2Ω y ˙ + (Ω^{2} - g / R) x$ , $y ¨ = - 2Ω x ˙ + (Ω^{2} - 2 g / R) y$ になる。 $x, y \propto e^{i ν t}$ とおき、係数の行列式を $0$ とする。

ヒント 3

特性方程式は $(ω_{x}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) (ω_{y}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) = 4 Ω^{2} ν^{2}$ である（ $ω_{x}^{2} = g / R$ , $ω_{y}^{2} = 2 g / R$ ）。 $ω_{x}^{2} = 3 Ω^{2}$ , $ω_{y}^{2} = 6 Ω^{2}$ を使い、 $u = ν^{2} / Ω^{2}$ についての 2 次方程式にする。

答えと解説

答えを見る

(\frac{g}{3 R}, \frac{10 g}{3 R})

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

回転座標系での運動方程式

回転座標系は慣性系に対して角速度ベクトル $Ω = (0, 0, Ω)$ で回転しているので、質点には実際の力（重力・垂直抗力）のほかに、慣性力として遠心力 $- m Ω \times (Ω \times r)$ とコリオリ力 $- 2 m Ω \times v$ がはたらくとして運動方程式を立てられる。曲面はこの座標系で静止しているので、垂直抗力は時間によらない曲面の法線方向を向く。

遠心力の水平成分: $m Ω^{2} (x, y)$
コリオリ力: $Ω \times v = Ω (- y ˙, x ˙, 0)$ より $- 2 m Ω \times v = 2 m Ω (y ˙, - x ˙, 0)$ 。 $z ˙$ は 2 次の量なので、1 次の近似で速度は水平であり、コリオリ力も水平である。
重力と垂直抗力: $z$ は $x, y$ の 2 次の量なので、鉛直方向のつりあいから垂直抗力の大きさは 1 次の近似で $N = m g$ 。曲面の法線の向きは $(- \frac{\partial z}{\partial x}, - \frac{\partial z}{\partial y}, 1) = (- \frac{x}{R}, - \frac{2 y}{R}, 1)$ に比例するので、垂直抗力の水平成分は 1 次の近似で $(- \frac{m g}{R} x, - \frac{2 m g}{R} y)$ である。摩擦がないので、これ以外の力ははたらかない。

ここで $ω_{x}^{2} = \frac{g}{R}$ , $ω_{y}^{2} = \frac{2 g}{R}$ とおくと、水平方向の運動方程式は
$x ¨ = 2Ω y ˙ + (Ω^{2} - ω_{x}^{2}) x (1)$
$y ¨ = - 2Ω x ˙ + (Ω^{2} - ω_{y}^{2}) y (2)$
となる。

基準振動

$x = X e^{i ν t}$ , $y = Y e^{i ν t}$ とおいて $(1)$ , $(2)$ に代入すると
$(ω_{x}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) X - 2 i Ω ν Y = 0$
$2 i Ω ν X + (ω_{y}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) Y = 0$
$X = Y = 0$ 以外の解をもつ条件は、係数の行列式が $0$ になることである。 $(- 2 i Ω ν) (2 i Ω ν) = 4 Ω^{2} ν^{2}$ より
$(ω_{x}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) (ω_{y}^{2} - Ω^{2} - ν^{2}) - 4 Ω^{2} ν^{2} = 0 (3)$

$Ω^{2} = \frac{g}{3 R}$ なので $ω_{x}^{2} = 3 Ω^{2}$ , $ω_{y}^{2} = 6 Ω^{2}$ である。 $u = ν^{2} / Ω^{2}$ とおくと、 $(3)$ は
$(2 - u) (5 - u) - 4 u = 0$
$u^{2} - 11 u + 10 = 0$
$(u - 1) (u - 10) = 0$
となり、 $u = 1, 10$ を得る。どちらも正の実数なので、 $ν$ は実数で、運動は安定な振動である。

よって基準振動の角振動数は
$ν_{1} = Ω = \frac{g}{3 R}, ν_{2} = 10 Ω = \frac{10 g}{3 R}$
である。

（確認: $ω_{x} = ω_{y} = ω_{0}$ の等方的な場合、 $(3)$ は $ν = ω_{0} \pm Ω$ を与える。これは慣性系での角振動数 $ω_{0}$ の振動を回転座標系から見たものとして正しい。）

別解

回転座標系では、質点には重力、垂直抗力、遠心力、コリオリ力がはたらく。微小振動では $z$ は 2 次の微小量なので、運動エネルギーは $\frac{m}{2} (x ˙^{2} + y ˙^{2})$ としてよい。

遠心力のポテンシャルを含めた有効ポテンシャルは
$U = m g (\frac{x ^{2}}{2 R} + \frac{y ^{2}}{R}) - \frac{m}{2} Ω^{2} (x^{2} + y^{2})$
である。コリオリ力は水平成分が $2 m Ω (y ˙, - x ˙)$ となる。

運動方程式は次のとおり。
$x ¨ - 2Ω y ˙ + (\frac{g}{R} - Ω^{2}) x = 0, y ¨ + 2Ω x ˙ + (\frac{2 g}{R} - Ω^{2}) y = 0$

$Ω^{2} = \frac{g}{3 R}$ を代入し、 $a = \frac{2 g}{3 R}$ 、 $b = \frac{5 g}{3 R}$ とおく。解を $e^{iω t}$ の形に仮定すると、永年方程式は
$(a - ω^{2}) (b - ω^{2}) - 4 Ω^{2} ω^{2} = 0$
となる。整理すると
$ω^{4} - (a + b + 4 Ω^{2}) ω^{2} + ab = 0$
である。

$\frac{g}{R}$ を単位にとると、 $a + b + 4 Ω^{2} = \frac{7}{3} + \frac{4}{3} = \frac{11}{3}$ 、 $ab = \frac{10}{9}$ である。したがって
$ω^{2} = \frac{\frac{11}{3} \pm \frac{121}{9} - \frac{40}{9}}{2} = \frac{\frac{11}{3} \pm 3}{2} = \frac{10}{3}, \frac{1}{3}$

検算として、2 つの解の積は $\frac{10}{9} = ab$ となり一致する。

よって角振動数は、小さい順に $\frac{g}{3 R}$ 、 $\frac{10 g}{3 R}$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる