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力学（質点・剛体）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $m$ の質点が、固定された点 $O$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$U (r) = - \frac{k e ^{- r / a}}{r}$
（ $k$ , $a$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力以外の力ははたらかず、非相対論的な古典力学で考える。

はじめ、質点は $O$ を中心とする半径 $a$ の円軌道を等速で回っていた。このとき、 $O$ のまわりの角運動量を変えないように、軌道面内で質点に半径方向のごく小さな乱れを与えた。その後、質点と $O$ の距離 $r$ は $a$ の近くで振動する。

$r$ が極小になってから次に $r$ が極小になるまでのあいだに、質点が $O$ のまわりに回る角 $Δ φ$ （ラジアン）を求めよ。ただし、乱れは十分小さいとして、 $r - a$ について 1 次の近似（微小振動の近似）で考えよ。

O

P

a

m

はじめの円軌道（半径

a

）

この問題で使うもの

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

角運動量が保存することを使い、動径方向の運動を有効ポテンシャル $U_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r)$ の中の 1 次元運動として扱いましょう。

ヒント 2

円軌道の条件 $U_{eff}^{'} (a) = 0$ と、動径振動の角振動数 $ω_{r}^{2} = U_{eff}^{''} (a) / m$ を求め、公転の角速度 $ω_{φ} = L / (m a^{2})$ と比べます。 $\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = 3 + \frac{r f ^{'} ( r )}{f ( r )}$ （ $f = U^{'}$ ）の形になります。

ヒント 3

$f (r) = k e^{- r / a} (\frac{1}{r ^{2}} + \frac{1}{a r})$ より $f (a) = \frac{2 k}{e a ^{2}}$ , $f^{'} (a) = - \frac{5 k}{e a ^{3}}$ です。 $Δ φ$ は、動径振動の 1 周期のあいだに回る角 $ω_{φ} \cdot \frac{2 π}{ω _{r}}$ です。

答えと解説

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22 π

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解説を読む

角運動量の大きさを $L$ とする。中心力なので $L$ は保存し、動径方向の運動は有効ポテンシャル
$U_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r)$
の中の 1 次元運動になる。

円軌道の条件 $f (r) = U^{'} (r)$ （引力の大きさ）とおくと、半径 $r_{0}$ の円軌道では $U_{eff}^{'} (r_{0}) = 0$ より
$\frac{L ^{2}}{m r _{0}^{3}} = f (r_{0}) .$

動径方向の微小振動 $r = r_{0} + ξ$ として $U_{eff}$ を $ξ$ の 2 次まで展開すると、 $m ξ ¨ = - U_{eff}^{''} (r_{0}) ξ$ となる。
$U_{eff}^{''} (r_{0}) = \frac{3 L ^{2}}{m r _{0}^{4}} + f^{'} (r_{0}) = \frac{3 f ( r _{0} )}{r _{0}} + f^{'} (r_{0})$
なので、動径振動の角振動数 $ω_{r}$ は
$ω_{r}^{2} = \frac{1}{m} (\frac{3 f ( r _{0} )}{r _{0}} + f^{'} (r_{0})) .$

公転の角速度 $φ ˙ = \frac{L}{m r ^{2}}$ は 1 次の近似で $ω_{φ} = \frac{L}{m r _{0}^{2}}$ としてよく（ $ξ$ に比例する変化は 1 周期で平均すると 0）、
$ω_{φ}^{2} = \frac{L ^{2}}{m ^{2} r _{0}^{4}} = \frac{f ( r _{0} )}{m r _{0}} .$
よって
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = 3 + \frac{r _{0} f ^{'} ( r _{0} )}{f ( r _{0} )} .$

この力の場合
$f (r) = U^{'} (r) = k e^{- r / a} (\frac{1}{r ^{2}} + \frac{1}{a r}),$
$f^{'} (r) = k e^{- r / a} [- \frac{1}{a} (\frac{1}{r ^{2}} + \frac{1}{a r}) - \frac{2}{r ^{3}} - \frac{1}{a r ^{2}}] .$
$r_{0} = a$ を代入すると
$f (a) = \frac{2 k}{e a ^{2}}, f^{'} (a) = \frac{k}{e} (- \frac{2}{a ^{3}} - \frac{2}{a ^{3}} - \frac{1}{a ^{3}}) = - \frac{5 k}{e a ^{3}} .$
したがって $\frac{a f ^{'} ( a )}{f ( a )} = - \frac{5}{2}$ で、
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}, \frac{ω _{r}}{ω _{φ}} = \frac{1}{2} .$
（ $ω_{r}^{2} > 0$ なので、この円軌道は安定である。）

求める角 $r$ が極小になってから次に極小になるまでの時間は動径振動の周期 $\frac{2 π}{ω _{r}}$ で、そのあいだに回る角は
$Δ φ = ω_{φ} \cdot \frac{2 π}{ω _{r}} = 2 π 2 = 22 π .$

別解

角運動量 $L = m r^{2} φ ˙$ 一定。動径方程式は $m r ¨ = \frac{L ^{2}}{m r ^{3}} - U^{'} (r)$ 。円軌道 $r = a$ では $\frac{L ^{2}}{m a ^{3}} = U^{'} (a)$ , 角速度 $Ω^{2} = \frac{U ^{'} ( a )}{ma}$ 。\n $r = a + δ$ で線形化: $m δ ¨ = [- \frac{3 L ^{2}}{m a ^{4}} - U^{''} (a)] δ = - [\frac{3 U ^{'} ( a )}{a} + U^{''} (a)] δ$ 。よって動径振動の角振動数 $ω_{r}^{2} = \frac{1}{m} [U^{''} + \frac{3 U ^{'}}{a}]$ , 比 $\frac{ω _{r}^{2}}{Ω ^{2}} = 3 + \frac{a U ^{''} ( a )}{U ^{'} ( a )}$ 。\n\n $U = - \frac{k e ^{- r / a}}{r}$ より $U^{'} = k e^{- r / a} (\frac{1}{r ^{2}} + \frac{1}{a r})$ , $U^{''} = - k e^{- r / a} (\frac{2}{r ^{3}} + \frac{2}{a r ^{2}} + \frac{1}{a ^{2} r})$ 。\n $r = a$ で $U^{'} (a) = \frac{2 k}{e a ^{2}}$ , $U^{''} (a) = - \frac{5 k}{e a ^{3}}$ 。ゆえに $\frac{a U ^{''}}{U ^{'}} = - \frac{5}{2}$ , $\frac{ω _{r}^{2}}{Ω ^{2}} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} > 0$ （安定）。\n $ω_{r} = Ω/ 2$ 。 $r$ の極小から次の極小までの時間は $T_{r} = 2 π / ω_{r}$ で、その間に回る角は（1次近似で $φ ˙ = Ω$ 一定として）\n $Δ φ = Ω T_{r} = 2 π \frac{Ω}{ω _{r}} = 22 π .$ \n検算: 微小振動の範囲では $φ ˙ = L / (m r^{2})$ の変化は1次で平均すると0になり、平均角速度 $Ω$ を用いてよい。

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