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力学（質点・剛体）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $m$ の質点 $P$ が、固定された点 $O$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$U (r) = - \frac{k}{r} - \frac{β}{r ^{3}}$
（ $k$ , $β$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力（中心力）だけがはたらき、運動は相対論の効果を考えない古典力学にしたがうものとする。

質点 $P$ は、はじめ $O$ を中心とする半径 $r_{0}$ の安定な円軌道を回っていた。この運動に、軌道面内でわずかな乱れを加えたところ、 $P$ の $O$ からの距離 $r$ は $r_{0}$ の近くで微小振動するようになった。ずれの 1 次の近似で、 $r$ が 1 回振動する間（近点から次の近点まで）に、 $P$ は $O$ のまわりをちょうど 2 周した（動径ベクトルが角度 $4 π$ だけ回転した）。

このときの円軌道の半径 $r_{0}$ を、 $k$ , $β$ を用いて表せ。

O

P

r_{0}

乱れを加える前の円軌道

この問題で使うもの

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

角運動量が保存することを使って、動径 $r$ だけの 1 次元の運動（有効ポテンシャル $V_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r)$ の中の運動）に直し、円軌道のまわりの微小振動を考える。

ヒント 2

円軌道の条件 $V_{eff}^{'} (r_{0}) = 0$ で $L$ を消し、動径方向の角振動数 $m ω_{r}^{2} = V_{eff}^{''} (r_{0})$ と公転の角速度 $m ω_{θ}^{2} = L^{2} / (m r_{0}^{4})$ を比べる。1 回の動径振動で回る角度は $2 π ω_{θ} / ω_{r}$ である。

ヒント 3

計算すると $m ω_{θ}^{2} = \frac{k}{r _{0}^{3}} + \frac{3 β}{r _{0}^{5}}$ 、 $m ω_{r}^{2} = \frac{k}{r _{0}^{3}} - \frac{3 β}{r _{0}^{5}}$ となる。条件は $ω_{θ} / ω_{r} = 2$ である。

答えと解説

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\frac{5 β}{k}

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解説を読む

角運動量の保存と有効ポテンシャル

質点にはたらく力は $O$ に向かう（または $O$ から遠ざかる）中心力なので、 $O$ のまわりの力のモーメントは $0$ であり、角運動量 $L = m r^{2} θ ˙$ は保存する。また保存力だけがはたらくので力学的エネルギーも保存する。極座標 $(r, θ)$ を用いると、動径方向の運動方程式は
$m r ¨ = m r θ ˙^{2} - U^{'} (r) = \frac{L ^{2}}{m r ^{3}} - U^{'} (r) = - V_{eff}^{'} (r),$
$V_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{k}{r} - \frac{β}{r ^{3}}$
となる。

円軌道の条件

半径 $r_{0}$ の円軌道では $V_{eff}^{'} (r_{0}) = 0$ なので
$- \frac{L ^{2}}{m r _{0}^{3}} + \frac{k}{r _{0}^{2}} + \frac{3 β}{r _{0}^{4}} = 0 ⟹ \frac{L ^{2}}{m r _{0}^{3}} = \frac{k}{r _{0}^{2}} + \frac{3 β}{r _{0}^{4}} . (1)$
このときの角速度を $ω_{θ}$ とすると $L = m r_{0}^{2} ω_{θ}$ より
$m ω_{θ}^{2} = \frac{L ^{2}}{m r _{0}^{4}} = \frac{k}{r _{0}^{3}} + \frac{3 β}{r _{0}^{5}} . (2)$

動径方向の微小振動

$r = r_{0} + ξ$ （ $ξ$ は微小）とおき、角運動量 $L$ を一定として運動方程式を $ξ$ の 1 次まで展開すると $m ξ ¨ = - V_{eff}^{''} (r_{0}) ξ$ となる。ここで
$V_{eff}^{''} (r_{0}) = \frac{3 L ^{2}}{m r _{0}^{4}} - \frac{2 k}{r _{0}^{3}} - \frac{12 β}{r _{0}^{5}} .$
$(1)$ を用いて $\frac{3 L ^{2}}{m r _{0}^{4}} = \frac{3 k}{r _{0}^{3}} + \frac{9 β}{r _{0}^{5}}$ を代入すると
$V_{eff}^{''} (r_{0}) = \frac{k}{r _{0}^{3}} - \frac{3 β}{r _{0}^{5}} .$
円軌道が安定である条件は $V_{eff}^{''} (r_{0}) > 0$ 、すなわち $k r_{0}^{2} > 3 β$ であり、このとき動径方向の振動の角振動数 $ω_{r}$ は
$m ω_{r}^{2} = \frac{k}{r _{0}^{3}} - \frac{3 β}{r _{0}^{5}} . (3)$

（乱れによる $L$ の変化は $r_{0}$ と $ω_{θ}, ω_{r}$ をずれの 1 次だけ変えるにすぎず、下の比の条件には 1 次の近似で影響しない。）

条件の適用

$(2)$ , $(3)$ より
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{θ}^{2}} = \frac{k r _{0}^{2} - 3 β}{k r _{0}^{2} + 3 β} .$
動径方向の振動の周期 $T_{r} = 2 π / ω_{r}$ の間に回る角度は、1 次の近似で $ω_{θ} T_{r} = 2 π ω_{θ} / ω_{r}$ である。これが $4 π$ なので $ω_{θ} / ω_{r} = 2$ 、すなわち $ω_{r}^{2} / ω_{θ}^{2} = \frac{1}{4}$ 。よって
$4 (k r_{0}^{2} - 3 β) = k r_{0}^{2} + 3 β ⟹ 3 k r_{0}^{2} = 15 β ⟹ r_{0}^{2} = \frac{5 β}{k} .$
このとき $k r_{0}^{2} = 5 β > 3 β$ なので安定条件も満たしている。したがって
$r_{0} = \frac{5 β}{k} .$

別解

中心力の大きさ（引力）は $f (r) = U^{'} (r) = \frac{k}{r ^{2}} + \frac{3 β}{r ^{4}}$ である。

半径 $r_{0}$ の円軌道では、角運動量を $L$ として $\frac{L ^{2}}{m r _{0}^{3}} = f (r_{0})$ が成り立つ。角速度 $ω$ は $m ω^{2} = \frac{f ( r _{0} )}{r _{0}} = \frac{1}{r _{0}^{3}} (k + \frac{3 β}{r _{0}^{2}})$ で与えられる。

有効ポテンシャルは $U_{eff} = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r)$ である。その2階微分は $U_{eff}^{''} = \frac{3 L ^{2}}{m r ^{4}} + U^{''}$ である。

ここで $U^{''} = - \frac{2 k}{r ^{3}} - \frac{12 β}{r ^{5}}$ であり、 $\frac{3 L ^{2}}{m r _{0}^{4}} = \frac{3 f}{r _{0}} = \frac{3 k}{r _{0}^{3}} + \frac{9 β}{r _{0}^{5}}$ である。したがって
$U_{eff}^{''} (r_{0}) = \frac{k}{r _{0}^{3}} - \frac{3 β}{r _{0}^{5}}$
となる。安定であるためには $r_{0}^{2} > 3 β / k$ が必要である。

半径方向の微小振動の角振動数 $Ω$ は $m Ω^{2} = U_{eff}^{''} (r_{0})$ で決まる。よって
$\frac{Ω ^{2}}{ω ^{2}} = \frac{k r _{0}^{2} - 3 β}{k r _{0}^{2} + 3 β}$
である。

半径方向の1周期の間に動径が回る角度は $ω \cdot 2 π /Ω = 4 π$ である。したがって $ω /Ω = 2$ 、すなわち $Ω^{2} / ω^{2} = 1/4$ となる。

これから $4 (k r_{0}^{2} - 3 β) = k r_{0}^{2} + 3 β$ より $3 k r_{0}^{2} = 15 β$ 、つまり $r_{0}^{2} = 5 β / k$ を得る。

これは安定条件 $r_{0}^{2} > 3 β / k$ を満たす。

検算： $r_{0}^{2} = 5 β / k$ のとき $Ω^{2} / ω^{2} = (5 - 3) / (5 + 3) = 1/4$ となり、条件に合う。

答え： $r_{0} = 5 β / k$

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