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力学（質点・剛体）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $m$ の質点が、固定された点 $O$ を中心とするポテンシャル $U (r) = α r^{4}$ （ $r$ は $O$ からの距離、 $α$ は正の定数）の中で、 $O$ のまわりの角運動量の大きさ $L (> 0)$ をもって平面運動している。質点の軌道が半径 $r_{c}$ の円軌道からわずかにずれているとき、動径 $r$ は $r_{c}$ のまわりで角振動数 $ω_{r}$ の微小振動をする。円軌道を回る角速度を $ω_{φ}$ とするとき、比 $\frac{ω _{r}}{ω _{φ}}$ を正確な値で求めよ。ただし、 $r_{c}$ は同じ $L$ をもつ円軌道の半径であり、 $ω_{φ}$ はその円軌道での角速度とする。質点にはこの中心力以外の力ははたらかないものとする。

O

P

r_{c}

r

φ

破線は半径

r_{c}

の円軌道（図の P は質点の位置の一例）

この問題で使うもの

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（説明と入口の問題）
角運動量とトルク（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

角運動量保存を使って有効ポテンシャル $U_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + U (r)$ を作り、動径方向の 1 次元の運動として考える。

ヒント 2

円軌道の半径は $U_{eff}^{'} (r_{c}) = 0$ から、動径方向の微小振動の角振動数は $ω_{r}^{2} = U_{eff}^{''} (r_{c}) / m$ から決まる。

ヒント 3

$U_{eff}^{'} (r_{c}) = 0$ より $\frac{L ^{2}}{m} = 4 α r_{c}^{6}$ 。これを使って $U_{eff}^{''} (r_{c})$ と $ω_{φ} = \frac{L}{m r _{c}^{2}}$ を $α$ , $r_{c}$ , $m$ だけで表す。

答えと解説

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6

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有効ポテンシャル

力は中心力なので角運動量 $L = m r^{2} φ ˙$ は保存し、力学的エネルギーも保存する。動径方向の運動方程式は
$m r ¨ = - \frac{d U _{eff}}{d r}, U_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + α r^{4}$
と書ける。

円軌道の半径

円軌道は $U_{eff}$ の極小点で、
$U_{eff}^{'} (r) = - \frac{L ^{2}}{m r ^{3}} + 4 α r^{3} = 0 ⟹ \frac{L ^{2}}{m} = 4 α r_{c}^{6} . (1)$

動径方向の微小振動

$r = r_{c} + ξ$ （ $ξ$ は微小）として $U_{eff}^{'} (r) \approx U_{eff}^{''} (r_{c}) ξ$ と展開すると $m ξ ¨ = - U_{eff}^{''} (r_{c}) ξ$ となり、 $ω_{r}^{2} = \frac{U _{eff}^{''} ( r _{c} )}{m}$ である。
$U_{eff}^{''} (r) = \frac{3 L ^{2}}{m r ^{4}} + 12 α r^{2}$
に $(1)$ を代入すると
$U_{eff}^{''} (r_{c}) = 3 \cdot \frac{4 α r _{c}^{6}}{r _{c}^{4}} + 12 α r_{c}^{2} = 24 α r_{c}^{2}, ω_{r}^{2} = \frac{24 α r _{c}^{2}}{m} .$

円軌道の角速度

$ω_{φ} = \frac{L}{m r _{c}^{2}}, ω_{φ}^{2} = \frac{L ^{2}}{m ^{2} r _{c}^{4}} = \frac{1}{m} \cdot \frac{4 α r _{c}^{6}}{r _{c}^{4}} = \frac{4 α r _{c}^{2}}{m} .$

よって
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = \frac{24}{4} = 6, \frac{ω _{r}}{ω _{φ}} = 6 .$
（ $U \propto r^{n}$ の一般の場合は $n + 2$ になり、 $n = 4$ で一致する。）

別解

有効ポテンシャル（角運動量 $L$ 一定、 $φ ˙ = \frac{L}{m r ^{2}}$ ）は
$U_{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + α r^{4}$
動径方向の運動方程式 $m r ¨ = - U_{eff}^{'} (r)$ 。円軌道 $r = r_{c}$ の条件は $U_{eff}^{'} (r_{c}) = 0$ :
$- \frac{L ^{2}}{m r _{c}^{3}} + 4 α r_{c}^{3} = 0 \Rightarrow \frac{L ^{2}}{m} = 4 α r_{c}^{6}$
微小振動の角振動数は $ω_{r}^{2} = \frac{U _{eff}^{''} ( r _{c} )}{m}$ 。
$U_{eff}^{''} (r) = \frac{3 L ^{2}}{m r ^{4}} + 12 α r^{2} \Rightarrow U_{eff}^{''} (r_{c}) = \frac{3 \cdot 4 α r _{c}^{6}}{r _{c}^{4}} + 12 α r_{c}^{2} = 24 α r_{c}^{2}$
$ω_{r}^{2} = \frac{24 α r _{c}^{2}}{m}$
円軌道の角速度は
$ω_{φ}^{2} = \frac{L ^{2}}{m ^{2} r _{c}^{4}} = \frac{4 α r _{c}^{6}}{m r _{c}^{4}} = \frac{4 α r _{c}^{2}}{m}$
よって
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = 6 \Rightarrow \frac{ω _{r}}{ω _{φ}} = 6$
検算: 一般にべき乗のポテンシャル $U \propto r^{n}$ では $ω_{r} / ω_{φ} = n + 2$ （ $n = - 1$ で 1、 $n = 2$ で 2）。 $n = 4$ で $6$ となり一致する。

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