有効ポテンシャルと円軌道の安定性

中心力の運動を有効ポテンシャル $U_{eff} (r) = U (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ の 1 次元運動に帰着させ、円軌道の半径、動径方向の微小振動の角振動数 $ω_{r} = U_{eff}^{''} (r_{c}) / m$ 、比 $ω_{r} / ω_{φ}$ や近点の間に回る角を求められる

前提

角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
テイラー展開（大学数学微分積分）
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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算数中学高校大学大学院

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単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

中心力 $F = - U^{'} (r) \frac{r}{r}$ のもとでの平面運動は、角運動量 $L$ が保存することを使うと、動径 $r$ だけの 1 次元運動に置き換えられます。そのときの「見かけのポテンシャル」が有効ポテンシャル $U_{eff} (r) = U (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ です。これを使うと、円軌道の半径、円軌道が安定かどうか、円軌道を少し乱したときに $r$ が振動する角振動数 $ω_{r}$ 、さらに近点（中心に最も近い点）どうしの間に回る角を求められます。惑星の軌道が閉じるかどうか（近点移動）や、いろいろな力の法則での軌道の安定性を調べる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

極座標 $(r, φ)$ で質点の速さの 2 乗は $v^{2} = r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}$ です。中心力では角運動量 $L = m r^{2} φ ˙$ が一定なので $φ ˙ = \frac{L}{m r ^{2}}$ と書け、力学的エネルギーは
$E = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} φ ˙^{2} + U (r) = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + U_{eff} (r) U (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$
となります。これは「直線上を座標 $r$ で動く質量 $m$ の粒子が、ポテンシャル $U_{eff} (r)$ の中を運動する」ときのエネルギーと同じ形です。実際、極座標の動径方向の運動方程式 $m (r ¨ - r φ ˙^{2}) = - U^{'} (r)$ に $φ ˙ = L / (m r^{2})$ を代入すると $m r ¨ = - U^{'} (r) + \frac{L ^{2}}{m r ^{3}} = - U_{eff}^{'} (r)$ となり、確かに 1 次元の運動方程式になります。 $\frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ は回転していることによる「遠心力のポテンシャル」です。ここで $L$ は運動の間一定の数として扱います。

円軌道は $r$ が一定、つまり $r ¨ = 0$ の運動なので、 $U_{eff}^{'} (r_{c}) = 0$ を満たす $r_{c}$ が円軌道の半径です。 $r = r_{c} + x$ （ $x$ は小さい）とずらし、 $U_{eff}^{'} (r)$ を $r_{c}$ のまわりでテイラー展開すると $U_{eff}^{'} (r_{c} + x) \approx U_{eff}^{'} (r_{c}) + U_{eff}^{''} (r_{c}) x = U_{eff}^{''} (r_{c}) x$ なので、 $m x ¨ = - U_{eff}^{''} (r_{c}) x$ です。 $U_{eff}^{''} (r_{c}) > 0$ （ $r_{c}$ が極小）なら、これは単振動の式 $x ¨ = - ω^{2} x$ と同じ形で、 $x$ は角振動数 $ω_{r} = U_{eff}^{''} (r_{c}) / m$ で振動し小さいまま保たれます（安定）。 $U_{eff}^{''} (r_{c}) < 0$ （極大）ならずれが増えていき不安定です。

一方、円軌道を回る角速度は $ω_{φ} = \frac{L}{m r _{c}^{2}}$ です。 $r$ が 1 回振動する時間 $\frac{2 π}{ω _{r}}$ の間に $φ$ は $ω_{φ} \cdot \frac{2 π}{ω _{r}}$ だけ進むので、近点から次の近点までに回る角は $2 π \frac{ω _{φ}}{ω _{r}}$ 、近点から遠点までの角はその半分 $π \frac{ω _{φ}}{ω _{r}}$ です。 $ω_{r} / ω_{φ}$ が 1 なら軌道は 1 周で閉じます。なお円軌道の条件 $\frac{L ^{2}}{m r _{c}^{3}} = U^{'} (r_{c})$ を使うと $U_{eff}^{''} (r_{c}) = U^{''} (r_{c}) + \frac{3 U ^{'} ( r _{c} )}{r _{c}}$ 、 $m ω_{φ}^{2} = \frac{U ^{'} ( r _{c} )}{r _{c}}$ なので、 $\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = 3 + \frac{r _{c} U ^{''} ( r _{c} )}{U ^{'} ( r _{c} )}$ と $L$ を消した形でも書けます。

手順

有効ポテンシャルを書く: $U_{eff} (r) = U (r) + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ （ $L$ は定数として扱う）
$U_{eff}^{'} (r) = U^{'} (r) - \frac{L ^{2}}{m r ^{3}} = 0$ を解いて円軌道の半径 $r_{c}$ を求める（または $L^{2} = m r_{c}^{3} U^{'} (r_{c})$ として $L$ を $r_{c}$ で表す）
$U_{eff}^{''} (r) = U^{''} (r) + \frac{3 L ^{2}}{m r ^{4}}$ に $r = r_{c}$ を代入し、正なら安定、負なら不安定と判定する
安定なら動径方向の微小振動の角振動数 $ω_{r} = U_{eff}^{''} (r_{c}) / m$ を求める
回転の角速度 $ω_{φ} = \frac{L}{m r _{c}^{2}}$ を求め、比 $ω_{r} / ω_{φ}$ や、近点から次の近点までの角 $2 π ω_{φ} / ω_{r}$ （近点から遠点までは $π ω_{φ} / ω_{r}$ ）を計算する

例題

質量 $m$ の質点が、ポテンシャル $U (r) = k r^{4}$ （ $k > 0$ は定数、 $r$ は原点からの距離）で表される中心力を受けて運動している。角運動量の大きさが $L (> 0)$ の円軌道について、円軌道を少し乱したときの動径方向の微小振動の角振動数 $ω_{r}$ と、円軌道の角速度 $ω_{φ}$ の比 $\frac{ω _{r}}{ω _{φ}}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】有効ポテンシャルは $U_{eff} (r) = k r^{4} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ 。

【手順 2】 $U_{eff}^{'} (r) = 4 k r^{3} - \frac{L ^{2}}{m r ^{3}}$ 。円軌道の半径 $r_{c}$ では $U_{eff}^{'} (r_{c}) = 0$ なので $\frac{L ^{2}}{m} = 4 k r_{c}^{6}$ 。

【手順 3】 $U_{eff}^{''} (r) = 12 k r^{2} + \frac{3 L ^{2}}{m r ^{4}}$ 。 $r = r_{c}$ で手順 2 の関係を使うと $U_{eff}^{''} (r_{c}) = 12 k r_{c}^{2} + \frac{3 \cdot 4 k r _{c}^{6}}{r _{c}^{4}} = 24 k r_{c}^{2} > 0$ なので、円軌道は安定。

【手順 4】 $ω_{r}^{2} = \frac{U _{eff}^{''} ( r _{c} )}{m} = \frac{24 k r _{c}^{2}}{m}$ 。

【手順 5】 $ω_{φ} = \frac{L}{m r _{c}^{2}}$ より $ω_{φ}^{2} = \frac{L ^{2}}{m ^{2} r _{c}^{4}} = \frac{4 k r _{c}^{6}}{m r _{c}^{4}} = \frac{4 k r _{c}^{2}}{m}$ 。よって
$\frac{ω _{r}^{2}}{ω _{φ}^{2}} = \frac{24 k r _{c}^{2} / m}{4 k r _{c}^{2} / m} = 6, \frac{ω _{r}}{ω _{φ}} = 6$
（ $r_{c}$ や $L$ によらない。近点から次の近点までに回る角は $2 π / 6$ で、 $2 π$ と違うので軌道は一般に閉じない。）

答え: $6$

よくある誤り

$ω_{r} = U^{''} (r_{c}) / m$ と、もとのポテンシャル $U$ の 2 階微分だけで計算してしまう誤り。正しくは遠心力の項も含めた $U_{eff}^{''} (r_{c}) = U^{''} (r_{c}) + \frac{3 L ^{2}}{m r _{c}^{4}}$ を使う（例: $U = k r^{4}$ では $12 k r_{c}^{2}$ ではなく $24 k r_{c}^{2}$ ）
遠心力のポテンシャルの符号を逆にして $U_{eff} = U - \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは運動エネルギーの一部 $\frac{1}{2} m r^{2} φ ˙^{2} = \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$ なので $+ \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$
$L = m r^{2} φ ˙$ や $L = m r v$ の中の $r$ も変数とみなして $U_{eff}$ を $φ ˙$ や $v$ を残したまま微分してしまう誤り。正しくは保存量 $L$ を定数として固定し、 $U_{eff}$ を $r$ だけの関数にしてから微分する
近点から次の近点までの角を $π ω_{φ} / ω_{r}$ としてしまう誤り。 $r$ が 1 周期振動する間の角なので $2 π ω_{φ} / ω_{r}$ 。 $π ω_{φ} / ω_{r}$ は近点から遠点までの角（例: ケプラー問題では $ω_{r} = ω_{φ}$ なので、近点から近点までは $2 π$ 、近点から遠点までは $π$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の質点が、定点 $O$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$U (r) = \frac{α}{4} r^{4} (α > 0)$
による中心力を受けて、平面内を運動している。 $O$ のまわりの角運動量の大きさを $L (> 0)$ とする。
質点が $O$ を中心とする円軌道を回っているとき、その円軌道からわずかにずれたときの動径方向の微小振動の角振動数を $ω_{r}$ 、円軌道を回る角速度を $ω_{φ}$ とする。比 $\frac{ω _{r}}{ω _{φ}}$ を求めよ。
$O$
力の中心 O のまわりの円軌道（黒丸が質点）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
シュワルツシルト時空の有効ポテンシャルと円軌道（大学院物理一般相対論）