保存力とポテンシャル

保存力が $F = - \nabla U$ で表されることを使って、力からポテンシャルを（ポテンシャルから力を）求め、3 次元の運動で力学的エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m v^{2} + U = E$ から速さや到達点を求められる

前提

力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）

説明

重力やばねの力のように、する仕事が経路によらない力（保存力）は、位置だけで決まる関数 $U (r)$ （ポテンシャルエネルギー、位置エネルギー）を使って $F = - \nabla U$ と表せます。この技能では、与えられた力から $U$ を求めること、逆に $U$ から偏微分で力を求めることを学びます。さらに、3 次元の空間を曲がりくねって動く場合でも、力学的エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m v^{2} + U = E$ （一定）を使って、運動方程式を解かずにある点での速さや到達できる範囲を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

前提の技能では、 $\nabla \times F = 0$ を満たすベクトル場には $F = \nabla φ$ となる関数 $φ$ があり、 $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$ と線積分が端点だけで決まることを学びました。物理では符号を逆にした $U = - φ$ を使い、 $F = - \nabla U$ 、つまり $F_{x} = - \frac{\partial U}{\partial x}$ , $F_{y} = - \frac{\partial U}{\partial y}$ , $F_{z} = - \frac{\partial U}{\partial z}$ と書きます。このとき、力が点 A から点 B まで物体にする仕事は
$W_{A \to B} = \int_{C} F \cdot d r = U (A) - U (B)$
です。符号を逆にするのは、「力の向きに動くと $U$ が減る」、つまり $U$ を「位置にたくわえられたエネルギー」と読めるようにするためです。たとえば重力 $F = (0, 0, - m g)$ では $U = m g z$ 、ばねの力 $F = (- k x, 0, 0)$ では $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ となり、これまでの位置エネルギーと一致します。 $U$ には定数を加える自由があるので、 $U = 0$ となる基準点を 1 つ決めて使います。

一方、運動エネルギーと仕事の関係から、A から B までの運動エネルギーの変化は、物体にはたらく力のした仕事に等しく、 $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = W_{A \to B}$ です。仕事をする力が保存力だけなら、右辺は $U (A) - U (B)$ なので、移項して
$\frac{1}{2} m v_{A}^{2} + U (A) = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + U (B)$
が得られます。A, B は軌道上の任意の 2 点なので、 $\frac{1}{2} m v^{2} + U$ は運動の間ずっと一定です。経路の形を知らなくても、物体が通る 2 点の位置さえわかれば速さが決まるのがこの方法の強みです。ただし、終点 B が実際に軌道上にある（物体がそこを通る）ことは、エネルギー保存とは別に問題の条件として必要です。

手順

力 $F = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$ が保存力であることを $\nabla \times F = 0$ で確かめる（問題で保存力と明示されていれば省略してよい）。
$- \frac{\partial U}{\partial x} = F_{x}$ を $x$ で積分して $U$ を求め、 $y$ , $z$ だけの関数の分だけ未定にしておく。残りの成分 $- \frac{\partial U}{\partial y} = F_{y}$ , $- \frac{\partial U}{\partial z} = F_{z}$ と比べて未定部分を決める（逆に $U$ が与えられたときは、 $F = - \nabla U$ を偏微分で計算する）。
基準点を決めて $U$ の定数を決める（例: 原点で $U = 0$ ）。
保存力以外の力が仕事をしないことを確かめ、始点と終点で $\frac{1}{2} m v_{A}^{2} + U (A) = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + U (B)$ を立てる。
求める速さ（ $v ≧ 0$ をとる）や到達点の条件（ $\frac{1}{2} m v^{2} = E - U ≧ 0$ ）について解く。

例題

質量 $m$ の質点が、空間内で力 $F = (- k x, - k y, - 4 k z)$ （ $k > 0$ は定数）だけを受けて運動する。質点を点 $A (a, 0, a)$ （ $a > 0$ ）で静かに放したところ、やがて点 $B (\frac{a}{2}, 0, 0)$ を通過した。点 B を通過するときの質点の速さを、 $m$ , $k$ , $a$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $\nabla \times F$ の $x$ 成分は $\frac{\partial F _{z}}{\partial y} - \frac{\partial F _{y}}{\partial z} = 0 - 0 = 0$ 、 $y$ 成分は $\frac{\partial F _{x}}{\partial z} - \frac{\partial F _{z}}{\partial x} = 0 - 0 = 0$ 、 $z$ 成分は $\frac{\partial F _{y}}{\partial x} - \frac{\partial F _{x}}{\partial y} = 0 - 0 = 0$ 。よって $F$ は保存力である。

手順 2: $- \frac{\partial U}{\partial x} = - k x$ を $x$ で積分して $U = \frac{1}{2} k x^{2} + g (y, z)$ 。 $- \frac{\partial U}{\partial y} = - \frac{\partial g}{\partial y} = - k y$ より $g = \frac{1}{2} k y^{2} + h (z)$ 。 $- \frac{\partial U}{\partial z} = - h^{'} (z) = - 4 k z$ より $h = 2 k z^{2} + C$ 。よって $U = \frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2}) + 2 k z^{2} + C$ 。

手順 3: 原点を基準に $U (0, 0, 0) = 0$ とすると $C = 0$ で、
$U (x, y, z) = \frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2}) + 2 k z^{2}$

手順 4: 質点にはたらく力はこの保存力だけなので、力学的エネルギーが保存する。A では $v = 0$ 、 $U (A) = \frac{1}{2} k a^{2} + 2 k a^{2} = \frac{5}{2} k a^{2}$ 。B では $U (B) = \frac{1}{2} k \cdot \frac{a ^{2}}{2} = \frac{1}{4} k a^{2}$ 。B での速さを $v$ とすると
$0 + \frac{5}{2} k a^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4} k a^{2}$

手順 5: $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{9}{4} k a^{2}$ より $v^{2} = \frac{9 k a ^{2}}{2 m}$ 、 $v > 0$ より $v = 3 a \frac{k}{2 m}$ 。

（参考: $ω = k / m$ とすると運動は $x = a cos ω t$ , $y = 0$ , $z = a cos 2 ω t$ で、 $ω t = π /4$ のとき確かに B を通り、そのとき $v_{x}^{2} + v_{z}^{2} = a^{2} ω^{2} (\frac{1}{2} + 4) = \frac{9}{2} a^{2} ω^{2}$ と一致する。エネルギー保存を使えば、この軌道を求めなくても速さがわかる。）

答え: $3 a \frac{k}{2 m}$

よくある誤り

マイナス符号を落として $F = \nabla U$ としてしまう誤り。物理のポテンシャルエネルギーは $F = - \nabla U$ で定める。たとえば $F = (- k x, 0, 0)$ から $U = - \frac{1}{2} k x^{2}$ とすると、ばねの位置エネルギーの符号が逆になる。正しくは $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ 。
偏微分の積分で、各成分から得た式を単純に足し合わせてしまう誤り。 $F = (- k y, - k x, 0)$ なら、 $- \partial U / \partial x = - k y$ から $k x y$ 、 $- \partial U / \partial y = - k x$ からも $k x y$ が出るが、 $U = 2 k x y$ ではない。正しくは $U = k x y + g (y, z)$ として未定部分を決め、 $U = k x y + C$ 。
仕事の符号を逆にして $W_{A \to B} = U (B) - U (A)$ としてしまう誤り。正しくは $W_{A \to B} = U (A) - U (B)$ で、 $U$ が減る向きに動くと保存力は正の仕事をし、速さが増す。
回転がゼロでない力（保存力でない力）や、動摩擦力のように仕事をする非保存力があるのに $\frac{1}{2} m v^{2} + U$ が一定としてしまう誤り。たとえば $F = (- k y, k x, 0)$ は $\nabla \times F = (0, 0, 2 k) \neq = 0$ なので $U$ が存在しない。エネルギー保存を使う前に、保存力だけが仕事をすることを確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y z$ 座標空間（ $z$ 軸は鉛直上向き）で、質量 $m$ の小物体が、位置 $(x, y, z)$ において力
$F = (- k x, - k y, - k z - m g)$
だけを受けて運動する。ここで $k$ は正の定数、 $g$ は重力加速度の大きさである。
この力は保存力である。小物体を点 $P (a, 0, 0)$ （ $a > 0$ ）で静かにはなすと、小物体は点 $Q (0, 0, - \frac{m g}{k})$ を通過する。点 $Q$ を通過するときの小物体の速さを、 $m$ , $k$ , $g$ , $a$ を用いて表せ。
$O$ $P$ $Q$ $x$ $y$ $z$
点 P と点 Q の位置（ $z$ 軸は鉛直上向き）

この技能の次に学べること

有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））