保存場とポテンシャル

$\nabla \times F = 0$ から保存場かを判定して定数を決め、ポテンシャル $φ$ を求めて $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$ で線積分を求められる

前提

ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ベクトル場 $F$ が、あるスカラー場 $φ$ の勾配 $F = \nabla φ$ として書けるとき、 $F$ を保存場、 $φ$ をそのポテンシャルといいます（物理では $F = - \nabla U$ と符号を付ける流儀もあります）。この技能を使うと、まず $\nabla \times F = 0$ を確かめて保存場かどうかを判定し、必要なら場に含まれる定数を決めます。次にポテンシャル $φ$ を偏積分で求めます。すると線積分は、曲線を媒介変数表示して積分しなくても $φ (B) - φ (A)$ という引き算だけで求まります。曲線が複雑なときや、終点だけが与えられているときに特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

なぜ引き算で線積分が求まるのか。 $F = \nabla φ$ とし、曲線 $C$ を $r (t) = (x (t), y (t), z (t))$ （ $a \leq t \leq b$ 、始点 $A = r (a)$ 、終点 $B = r (b)$ ）で表します。合成関数の微分（全微分）から $\frac{d}{d t} φ (r (t)) = φ_{x} x^{'} (t) + φ_{y} y^{'} (t) + φ_{z} z^{'} (t) = \nabla φ (r (t)) \cdot r^{'} (t)$ が成り立ちます。よって $\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} φ (r (t)) d t = φ (B) - φ (A)$ となります。値は端点だけで決まり、途中の道筋には依存しません。特に閉曲線に沿った線積分は $0$ です。

なぜ回転で判定できるのか。 偏導関数が連続な $φ$ （2 回連続微分可能）では、混合偏微分の順序を入れかえられます（ $φ_{x y} = φ_{y x}$ など）。したがって $F = \nabla φ$ なら、たとえば $z$ 成分は $(\nabla \times F)_{z} = \partial_{x} φ_{y} - \partial_{y} φ_{x} = 0$ です。他の成分も同様なので $\nabla \times F = 0$ が必要です。

逆に、 $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ の偏導関数が全空間 $R^{3}$ （または凸な領域のような「穴のない」領域）で連続で、 $\nabla \times F = 0$ なら、ポテンシャルは実際に作れます。作り方は次のとおりです。まず $φ = \int F_{1} d x + g (y, z)$ とおき、 $φ_{y} = F_{2}$ となるように $g$ を決めます。このとき $\partial_{y} g = F_{2} - \partial_{y} \int F_{1} d x$ の右辺を $x$ で微分すると、 $\partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} = (\nabla \times F)_{z} = 0$ になります。つまり右辺は $x$ を含まず、 $g (y, z)$ を矛盾なく決められます。 $z$ についても回転の残りの成分が $0$ であることから同じ議論が通ります。回転が $0$ という条件は、まさにこの偏積分の手順が破綻しないための条件なのです。

手順

定義域を確認し、回転 $\nabla \times F = (\partial_{y} F_{3} - \partial_{z} F_{2}, \partial_{z} F_{1} - \partial_{x} F_{3}, \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1})$ を計算する。全成分が恒等的に $0$ になる条件から定数を決める。定義域は全空間など穴のない領域であることを確かめる
$F_{1}$ を $x$ で積分し、積分定数のかわりに $y, z$ の関数を置く： $φ = \int F_{1} d x + g (y, z)$
$φ_{y} = F_{2}$ を比べて $\partial_{y} g$ を求め、 $y$ で積分して $g (y, z) = \dots + h (z)$ とする
$φ_{z} = F_{3}$ を比べて $h^{'} (z)$ を求め、 $h (z)$ を決める。ポテンシャルは定数の差を除いて一意なので、最後の定数は $0$ にしてよい
検算として $\nabla φ = F$ を確かめる。そのうえで始点 $A$ と終点 $B$ を代入し、 $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$ を計算する

例題

$R^{3}$ 上のベクトル場 $F = (2 x y + z^{2}, a x^{2} + 3 z, 2 x z + 3 y)$ （ $a$ は定数）が保存場になるように $a$ を定める。そのとき、曲線 $C : r (t) = (t, 2 t^{2}, t^{3})$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）に沿った線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（回転で判定し、定数を決める） $F_{1} = 2 x y + z^{2}, F_{2} = a x^{2} + 3 z, F_{3} = 2 x z + 3 y$ とする。各成分を計算すると次のとおり。
- $x$ 成分： $\partial_{y} F_{3} - \partial_{z} F_{2} = 3 - 3 = 0$
- $y$ 成分： $\partial_{z} F_{1} - \partial_{x} F_{3} = 2 z - 2 z = 0$
- $z$ 成分： $\partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} = 2 a x - 2 x = 2 (a - 1) x$

$z$ 成分がすべての $x$ で $0$ になるのは $a = 1$ のときだけである。定義域は全空間 $R^{3}$ で穴がないので、 $a = 1$ のとき $F$ は保存場になる。

手順 2（ $x$ で積分） $φ = \int (2 x y + z^{2}) d x + g (y, z) = x^{2} y + x z^{2} + g (y, z)$ とおく。

手順 3（ $y$ で比較） $φ_{y} = x^{2} + \partial_{y} g$ を $F_{2} = x^{2} + 3 z$ と比べると、 $\partial_{y} g = 3 z$ である。よって $g = 3 y z + h (z)$ となる。

手順 4（ $z$ で比較） $φ_{z} = 2 x z + 3 y + h^{'} (z)$ を $F_{3} = 2 x z + 3 y$ と比べると、 $h^{'} (z) = 0$ である。 $h = 0$ として $φ = x^{2} y + x z^{2} + 3 y z$ を得る。

手順 5（検算と代入） $\nabla φ = (2 x y + z^{2}, x^{2} + 3 z, 2 x z + 3 y) = F$ となり、正しい。始点は $A = r (0) = (0, 0, 0)$ 、終点は $B = r (1) = (1, 2, 1)$ である。したがって $\int_{C} F \cdot d r = φ (1, 2, 1) - φ (0, 0, 0) = (2 + 1 + 6) - 0 = 9.$

答え: $9$

よくある誤り

$x$ で積分したあとの「積分定数」を本当の定数 $C$ にしてしまう誤り。例題で $φ = x^{2} y + x z^{2} + C$ で止めると、 $φ_{y} = x^{2} \neq = F_{2}$ となって $3 z$ の分が抜ける。正しくは $φ = x^{2} y + x z^{2} + g (y, z)$ とおき、残りの変数の関数を置く。
$\int F_{1} d x + \int F_{2} d y + \int F_{3} d z$ を単純に足してしまう誤り。例題では $x^{2} y + x z^{2} + x^{2} y + 3 y z + x z^{2} + 3 y z$ となり、共通の項が二重に数えられる。正しくは手順 2〜4 のように比較しながら新しい項だけを加え、 $φ = x^{2} y + x z^{2} + 3 y z$ とする。
穴のある領域でも $\nabla \times F = 0$ だけで保存場と決めつけてしまう誤り。 $F = (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, 0)$ は $z$ 軸を除いた領域で回転が $0$ である。しかし単位円 $(cos t, sin t, 0)$ （ $0 \leq t \leq 2 π$ ）に沿った線積分は $\int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π \neq = 0$ となる。正しくは、全空間や凸な領域など穴のない領域であることを確かめてから判定に使う。
引き算の順序を逆にして $φ (A) - φ (B)$ を計算してしまう誤り。例題では $- 9$ になってしまう。正しくは「終点 $-$ 始点」で $φ (B) - φ (A)$ とする。曲線の向きを逆にすると符号が変わることと対応している。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

原点を除いた平面の場と偏角（大学数学ベクトル解析）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））