ベクトル解析の問題

手順1：回転を計算して $a$ を決める。
$\mathbf{F}=(P,Q,R)=(y^2+axz,2xy+z,x^2+y)$ とおく。回転の各成分は次のようになる。
$$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=1-1=0,$$
$$\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=ax-2x=(a-2)x,$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2y-2y=0.$$
すべての $x$ について $(a-2)x=0$ となるのは $a=2$ のときである。よって $a=2$ で、
$$\mathbf{F}=(y^2+2xz,2xy+z,x^2+y)$$
となる。$\mathbf{F}$ は空間全体（穴のない領域）で定義され、$\nabla \times \mathbf{F}=0$ なので保存場であり、$\nabla \phi =\mathbf{F}$ となるポテンシャル $\phi$ が存在する。

手順2：ポテンシャル $\phi$ を求める。
${\phi }_x=y^2+2xz$ を $x$ で積分すると
$$\phi =x{y}^2+x^{2}z+g(y,z)$$
となる。これを $y$ で偏微分すると ${\phi }_y=2xy+g_y$ である。これが $2xy+z$ に等しいので $g_y=z$ となり、$g=yz+h(z)$ である。よって $\phi =x{y}^2+x^{2}z+yz+h(z)$ となる。これを $z$ で偏微分すると ${\phi }_z=x^2+y+h^{\prime }(z)$ である。これが $x^2+y$ に等しいので $h^{\prime }(z)=0$ となり、$h$ は定数である。定数を $0$ にとって
$$\phi (x,y,z)=x{y}^2+x^{2}z+yz.$$

手順3：端点の値の差で線積分を求める。
始点は $\mathbf{r}(0)=(1,0,0)$、終点は $\mathbf{r}(1)=(2,1,2)$ である。
$$\phi (2,1,2)=2\cdot 1^2+2^2\cdot 2+1\cdot 2=2+8+2=12,$$
$$\phi (1,0,0)=0.$$
したがって
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\phi (2,1,2)-\phi (1,0,0)=12.$$

F=(P,Q,R)=(y²+axz, 2xy+z, x²+y)。
回転の各成分は次のとおり。
- x成分: R_y−Q_z = 1−1 = 0
- y成分: P_z−R_x = ax−2x = (a−2)x
- z成分: Q_x−P_y = 2y−2y = 0
よって回転が空間全体で 0 となるには a=2 が必要十分である。

a=2 のとき F=(y²+2xz, 2xy+z, x²+y)。
ポテンシャルを φ=xy²+x²z+yz とおく。
- φ_x = y²+2xz
- φ_y = 2xy+z
- φ_z = x²+y
これは F と一致するので F=∇φ。

線積分は φ(終点)−φ(始点) に等しい。
- 始点 t=0: (1,0,0) で φ=0
- 終点 t=1: (2,1,2) で φ=2·1+4·2+1·2=2+8+2=12
よって積分値は 12。

検算: 直接計算する。x=1+t, y=t², z=2t, dx=dt, dy=2t dt, dz=2dt。
- F_x=t⁴+2(1+t)(2t)=t⁴+4t+4t²
- F_y=2(1+t)t²+2t=2t²+2t³+2t
- F_z=(1+t)²+t²=1+2t+2t²
F·dr/dt = F_x+2t F_y+2F_z
= t⁴+4t+4t² + 4t³+4t⁴+4t² + 2+4t+4t²
= 5t⁴+4t³+12t²+8t+2
0 から 1 まで積分すると 1+1+4+4+2=12 となり一致する。