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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$a$ を実数の定数とし、 $x y$ 平面全体で定義されたベクトル場
$F (x, y) = (a x y^{2} + 3 x^{2}, 2 x^{2} y + e^{y})$
を考える。 $F$ が保存場、すなわちある関数 $φ (x, y)$ を用いて $F = \nabla φ$ と表せるように定数 $a$ を定める。このときの $F$ について、曲線
$C : r (t) = (t, t^{3}) (0 \leq t \leq 1)$
に沿った線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ の値を求めよ。ただし、 $C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。

この問題で使うもの

保存場とポテンシャル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（74 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「保存場とポテンシャル」を使います。まず $\nabla \times F = 0$ の条件から $a$ を決め、次にポテンシャル $φ$ を求めて、線積分を端点での値の差で計算します。

ヒント 2

平面のベクトル場 $(P, Q)$ では、回転が $0$ になる条件は $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ です。 $φ$ は $φ_{x} = P$ を $x$ で積分し、 $y$ だけの関数 $g (y)$ を $φ_{y} = Q$ から決めて求めます。

ヒント 3

$4 x y = 2 a x y$ から $a = 2$ です。このとき $φ = x^{2} y^{2} + x^{3} + g (y)$ となり、 $g^{'} (y) = e^{y}$ が得られます。あとは始点 $(0, 0)$ と終点 $(1, 1)$ での $φ$ の値の差を計算します。

答えと解説

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e + 1

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解説を読む

手順 1：回転が $0$ になる条件から $a$ を決める。

$P = a x y^{2} + 3 x^{2}$ , $Q = 2 x^{2} y + e^{y}$ とおき、 $F = (P, Q, 0)$ と空間のベクトル場とみなすと
$\nabla \times F = (0, 0, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) .$
ここで
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 4 x y, \frac{\partial P}{\partial y} = 2 a x y$
である。 $F = \nabla φ$ と表せるなら、偏微分の順序交換により $\nabla \times F = 0$ である。よって、すべての $(x, y)$ で $4 x y = 2 a x y$ が成り立つことが必要であり、 $a = 2$ となる。

逆に $a = 2$ のとき、 $\nabla \times F = 0$ である。定義域の $x y$ 平面全体は単連結なので、 $F$ は保存場になる。実際にポテンシャルを次の手順で求められる。

手順 2：ポテンシャル $φ$ を求める。

$a = 2$ のとき $φ_{x} = 2 x y^{2} + 3 x^{2}$ である。これを $x$ で積分すると
$φ = x^{2} y^{2} + x^{3} + g (y) (g は y だけの関数) .$
これを $y$ で偏微分すると $φ_{y} = 2 x^{2} y + g^{'} (y)$ となる。これが $Q = 2 x^{2} y + e^{y}$ に等しいので $g^{'} (y) = e^{y}$ であり、 $g (y) = e^{y}$ ととれる（定数は線積分の値に影響しない）。したがって
$φ (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{3} + e^{y} .$

手順 3：端点の値の差で線積分を求める。

$C$ の始点は $r (0) = (0, 0)$ 、終点は $r (1) = (1, 1)$ である。 $F = \nabla φ$ なので、線積分は経路によらず
$\int_{C} F \cdot d r = φ (1, 1) - φ (0, 0) .$
ここで
$φ (1, 1) = 1 + 1 + e = e + 2, φ (0, 0) = 0 + 0 + e^{0} = 1.$
よって
$\int_{C} F \cdot d r = (e + 2) - 1 = e + 1.$

別解

$P = a x y^{2} + 3 x^{2}$ , $Q = 2 x^{2} y + e^{y}$ とおく。平面全体は単連結なので、保存場であるための条件は $\partial P / \partial y = \partial Q / \partial x$ である。
$\partial P / \partial y = 2 a x y$ , $\partial Q / \partial x = 4 x y$ より $a = 2$ 。

ポテンシャルを求める。 $φ_{x} = 2 x y^{2} + 3 x^{2}$ を $x$ で積分して $φ = x^{2} y^{2} + x^{3} + g (y)$ 。
$φ_{y} = 2 x^{2} y + g^{'} (y) = 2 x^{2} y + e^{y}$ より $g^{'} (y) = e^{y}$ なので $g = e^{y}$ 。
よって $φ = x^{2} y^{2} + x^{3} + e^{y}$ 。

始点は $t = 0$ で $(0, 0)$ 、終点は $t = 1$ で $(1, 1)$ 。
$φ (1, 1) = 1 + 1 + e = 2 + e$ , $φ (0, 0) = 0 + 0 + 1 = 1$ 。
線積分 $= φ (1, 1) - φ (0, 0) = 1 + e$ 。

検算として直接計算する。 $x = t$ , $y = t^{3}$ , $d x = d t$ , $d y = 3 t^{2} d t$ より
$P = 2 t \cdot t^{6} + 3 t^{2} = 2 t^{7} + 3 t^{2}$
$Q = 2 t^{2} t^{3} + e^{t^{3}} = 2 t^{5} + e^{t^{3}}$
被積分関数は $2 t^{7} + 3 t^{2} + 3 t^{2} (2 t^{5} + e^{t^{3}}) = 2 t^{7} + 3 t^{2} + 6 t^{7} + 3 t^{2} e^{t^{3}} = 8 t^{7} + 3 t^{2} + 3 t^{2} e^{t^{3}}$ 。
積分すると $[t^{8} + t^{3} + e^{t^{3}}]_{0}^{1} = 3 + e - 1 = 2 + e - ...$ を計算し直す。 $t = 1$ で $1 + 1 + e = 2 + e$ 、 $t = 0$ で $0 + 0 + 1 = 1$ 。差は $1 + e$ 。一致する。

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