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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$a$ を実数の定数とし、 $x y$ 平面全体で定義されたベクトル場
$F (x, y) = (3 x^{2} y + a y^{2}, x^{3} + 4 x y)$
を考える。 $F$ を $z$ 成分が $0$ の空間ベクトル場とみなしたとき、 $\nabla \times F = 0$ がすべての点で成り立つように $a$ を定める。このとき、曲線
$C : r (t) = (t + 1, t^{2}) (0 \leq t \leq 1)$
に沿った線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

保存場とポテンシャル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（74 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「保存場とポテンシャル」を使います。まず $\nabla \times F = 0$ の条件から $a$ を決め、ポテンシャル $φ$ を求めて、端点での値の差を計算しましょう。

ヒント 2

平面のベクトル場 $(P, Q)$ では、 $\nabla \times F = 0$ は $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ と同じです。ポテンシャルは $\frac{\partial φ}{\partial x} = P$ を $x$ で積分し、 $y$ だけの関数 $g (y)$ を補って求めます。

ヒント 3

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (4 - 2 a) y$ より $a = 2$ です。このとき $φ = x^{3} y + 2 x y^{2}$ で、曲線の始点は $(1, 0)$ 、終点は $(2, 1)$ です。

答えと解説

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12

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解説を読む

手順 1：回転が $0$ になる $a$ を決める。
$P = 3 x^{2} y + a y^{2}, Q = x^{3} + 4 x y$ とおく。 $z$ 成分が $0$ で、 $P, Q$ は $z$ によらないので、回転は
$\nabla \times F = (0, 0, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$
となる。
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 3 x^{2} + 4 y, \frac{\partial P}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 a y$
より
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (4 - 2 a) y$
である。これがすべての $(x, y)$ で $0$ になるのは $a = 2$ のときである。

手順 2：ポテンシャルを求める。
$a = 2$ のとき $F = (3 x^{2} y + 2 y^{2}, x^{3} + 4 x y)$ である。定義域 $x y$ 平面全体は穴のない領域（単連結）なので、 $\nabla \times F = 0$ から $F$ は保存場であり、 $\nabla φ = F$ となる $φ$ が存在する。
$\frac{\partial φ}{\partial x} = 3 x^{2} y + 2 y^{2}$ を $x$ で積分すると
$φ = x^{3} y + 2 x y^{2} + g (y)$
となる。これを $y$ で偏微分すると $\frac{\partial φ}{\partial y} = x^{3} + 4 x y + g^{'} (y)$ である。これが $Q = x^{3} + 4 x y$ と等しいので $g^{'} (y) = 0$ となり、 $g$ は定数である。よって
$φ (x, y) = x^{3} y + 2 x y^{2}$
ととれる。

手順 3：端点の値の差で線積分を求める。
保存場の線積分は経路によらず、 $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$ で求められる。始点は $r (0)$ で $A (1, 0)$ 、終点は $r (1)$ で $B (2, 1)$ である。
$φ (2, 1) = 8 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 12, φ (1, 0) = 0$
したがって
$\int_{C} F \cdot d r = 12 - 0 = 12$
である。

別解

回転の z 成分は $\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y$ である。ここで $P = 3 x^{2} y + a y^{2}$ 、 $Q = x^{3} + 4 x y$ とすると、 $Q_{x} = 3 x^{2} + 4 y$ 、 $P_{y} = 3 x^{2} + 2 a y$ となる。これらがすべての点で等しいので $4 = 2 a$ 、よって $a = 2$ である。

このとき $P = 3 x^{2} y + 2 y^{2}$ 、 $Q = x^{3} + 4 x y$ で、平面全体で保存場となる。ポテンシャルを $f$ とすると、 $f_{x} = P$ より $f = x^{3} y + 2 x y^{2} + g (y)$ と書ける。 $f_{y} = x^{3} + 4 x y + g^{'} (y)$ が $Q$ と一致するので $g^{'} = 0$ であり、 $f = x^{3} y + 2 x y^{2}$ とおける。

始点は $t = 0$ で $(1, 0)$ 、終点は $t = 1$ で $(2, 1)$ である。
$f (2, 1) = 8 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 8 + 4 = 12$
$f (1, 0) = 0$
よって線積分の値は $12$ である。

検算として直接計算する。 $x = t + 1$ 、 $y = t^{2}$ 、 $d x = d t$ 、 $d y = 2 t d t$ である。
$P = 3 (t + 1)^{2} t^{2} + 2 t^{4} = 3 t^{4} + 6 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t^{4} = 5 t^{4} + 6 t^{3} + 3 t^{2}$
$Q = (t + 1)^{3} + 4 (t + 1) t^{2} = t^{3} + 3 t^{2} + 3 t + 1 + 4 t^{3} + 4 t^{2} = 5 t^{3} + 7 t^{2} + 3 t + 1$
被積分関数は $P + 2 tQ = 5 t^{4} + 6 t^{3} + 3 t^{2} + 10 t^{4} + 14 t^{3} + 6 t^{2} + 2 t = 15 t^{4} + 20 t^{3} + 9 t^{2} + 2 t$ である。
積分すると $3 + 5 + 3 + 1 = 12$ となり、一致する。

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