ベクトル解析の問題

方針 ストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
を使う。$C$ を境界とする曲面 $S$ として、平面 $x=1$ 上で $C$ が囲む楕円板を選ぶ。

手順 1：回転を計算する。 $F_1=xyz,F_2=2z+\sin y,F_3=3y+yz+x^2$ とすると
$$\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)=\left((3+z)-2,xy-2x,0-xz\right)=(1+z,xy-2x,-xz).$$

手順 2：曲面と法線の向きを決める。 $S=\{(1,y,z)\mid \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\le 1\}$ とする。$C$ 上の点は $t=0$ で $(1,2,0)$、$t=\frac{\pi }{2}$ で $(1,0,3)$ と動くので、$C$ は $yz$ 平面で見て $y$ 軸の正の向きから $z$ 軸の正の向きへ回る（反時計回り）。右ねじの関係から、法線は ${\mathbf{e}}_y\times {\mathbf{e}}_z={\mathbf{e}}_x$ の向き、すなわち $\mathbf{n}=(1,0,0)$ である。

手順 3：面積分を計算する。 $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=1+z$ なので
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(1+z)dS.$$
$S$ は平面 $x=1$ 上の平らな領域なので $dS=dydz$ である。$y=2r\cos \theta ,z=3r\sin \theta$（$0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$）と置くとヤコビアンは $6r$ だから
$${\iint }_{S}1dS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}6rdrd\theta =2\pi \cdot 3=6\pi (\text{楕円の面積 }\pi \cdot 2\cdot 3),$$
$${\iint }_{S}zdS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}3r\sin \theta \cdot 6rdrd\theta =6{\int }_0^{2\pi }\sin \theta d\theta =0.$$
（領域が $z\to -z$ について対称で $z$ が奇関数なので $0$ になる、と見てもよい。）

よって
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=6\pi +0=6\pi .$$

（確認：直接計算すると $\mathbf{F}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }=-12{\sin }^{2}t-2\sin t\sin (2\cos t)+18{\cos }^{2}t+18\sin t{\cos }^{2}t+3\cos t$ で、$0$ から $2\pi$ まで積分すると $-12\pi +18\pi =6\pi$ となり一致する。）

曲線 $C$ は平面 $x=1$ 上にあり、向きは $(y,z)$ 平面で反時計回りである。このとき法線の向きは $+x$ 方向で、右手系の向きと合う。

$\mathrm{rot}\mathbf{F}$ の $x$ 成分は
$$\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=(3+z)-2=1+z$$
である。

$C$ が囲む楕円板 $D=\{(y,z):y^2/4+z^2/9\le 1\}$ にストークスの定理を用いる。
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_D(1+z)dydz$$
$D$ の面積は $\pi \cdot 2\cdot 3=6\pi$ である。また $z$ は $D$ 上で奇関数なので ${\iint }_{D}zdydz=0$ となる。よって値は $6\pi$ である。

検算として線積分を直接計算する。$x=1$ より $dx=0$ で、
$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(2z+\sin y)dy+(3y+yz+1)dz$$
ここで $y=2\cos t$、$z=3\sin t$、$dy=-2\sin tdt$、$dz=3\cos tdt$ である。各項を $0\le t\le 2\pi$ で積分する。
- $\int 2zdy=\int -12{\sin }^{2}tdt=-12\pi$
- $\int 3ydz=\int 18{\cos }^{2}tdt=18\pi$
- $\int yzdz=\int 18\sin t{\cos }^{2}tdt=0$
- $\int \sin ydy=0$、$\int 1dz=0$

合計は $-12\pi +18\pi =6\pi$ となり、一致する。