ベクトル解析の問題

まず $\mathbf{F}$ が保存場かどうかを調べる。$\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ とすると
$$\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=3-3=0,\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=1-1=0,\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=2x-2x=0$$
より $\mathrm{rot}\mathbf{F}=0$ である。$\mathbf{F}$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体（単連結）で $C^1$ 級なので、ポテンシャル $\phi$（$\nabla \phi =\mathbf{F}$）が存在する。

$\frac{\partial \phi }{\partial x}=2xy+z$ を $x$ で積分して
$$\phi =x^{2}y+xz+g(y,z).$$
$\frac{\partial \phi }{\partial y}=x^2+g_y=x^2+3z$ より $g_y=3z$、よって $g=3yz+h(z)$。
さらに $\frac{\partial \phi }{\partial z}=x+3y+h^{\prime }(z)=x+3y$ より $h^{\prime }(z)=0$。定数を $0$ にとって
$$\phi (x,y,z)=x^{2}y+xz+3yz.$$

保存場の線積分は始点と終点だけで決まり
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\phi (\mathbf{r}(\pi ))-\phi (\mathbf{r}(0)).$$
始点は $\mathbf{r}(0)=(1,0,0)$、終点は $\mathbf{r}(\pi )=(-1,0,\pi )$ なので
$$\phi (-1,0,\pi )=(-1{)}^2\cdot 0+(-1)\cdot \pi +3\cdot 0\cdot \pi =-\pi ,\phi (1,0,0)=0.$$
したがって
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi -0=-\pi .$$

まず $\mathrm{rot}\mathbf{F}$ を計算する。$F_1=2xy+z,F_2=x^2+3z,F_3=x+3y$ より、
$\mathrm{rot}\mathbf{F}=({\partial }_y{F}_3-{\partial }_z{F}_2,{\partial }_z{F}_1-{\partial }_x{F}_3,{\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1)=(3-3,1-1,2x-2x)=0$.
${\mathbb{R}}^3$ は単連結なので $\mathbf{F}$ は保存場で、ポテンシャルが存在する。

${\partial }_x\phi =2xy+z$ より $\phi =x^{2}y+xz+g(y,z)$. ${\partial }_y\phi =x^2+g_y=x^2+3z$ より $g_y=3z$, $g=3yz+h(z)$. ${\partial }_z\phi =x+3y+h^{\prime }(z)=x+3y$ より $h^{\prime }=0$. よって $\phi =x^{2}y+xz+3yz$.

始点 $\mathbf{r}(0)=(1,0,0)$ で $\phi =0$. 終点 $\mathbf{r}(\pi )=(-1,0,\pi )$ で $\phi =0+(-1)\pi +0=-\pi$.

${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\phi (-1,0,\pi )-\phi (1,0,0)=-\pi$.

検算（直接計算）: ${\mathbf{r}}^{\prime }=(-\sin t,\cos t,1)$. 被積分関数は $(2\cos t\sin t+t)(-\sin t)+({\cos }^{2}t+3t)\cos t+\cos t+3\sin t$ $=-2\cos t{\sin }^{2}t-t\sin t+{\cos }^{3}t+3t\cos t+\cos t+3\sin t$. 各項を $0$ から $\pi$ で積分する。$\int -2\cos t{\sin }^{2}t=-\frac{2}{3}[{\sin }^{3}t]=0$. $\int -t\sin t=[t\cos t-\sin t]=-\pi$. $\int {\cos }^{3}t=[\sin t-\frac{{\sin }^{3}t}{3}]=0$. $\int 3t\cos t=3[t\sin t+\cos t]=3(-1-1)=-6$. $\int \cos t=0$. $\int 3\sin t=6$. 合計 $-\pi -6+6=-\pi$. 一致する。