ベクトル解析の問題

$\mathbf{F}$ を 2 つに分ける。
$$\mathbf{G}=(2xz,z,x^2+y),\mathbf{H}=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2},0\right),\mathbf{F}=\mathbf{G}+\mathbf{H}.$$

$\mathbf{G}$ の部分（保存場）. $\phi (x,y,z)=x^{2}z+yz$ とおくと
$$\nabla \phi =(2xz,z,x^2+y)=\mathbf{G}$$
であり、$\phi$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体で定義された $C^1$ 級関数である。したがって $\mathbf{G}$ の線積分は経路によらず端点の値の差で決まる：
$${\int }_C\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=\phi (\mathbf{r}(5\pi /2))-\phi (\mathbf{r}(0)).$$
始点は $\mathbf{r}(0)=(1,0,0)$、終点は $1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$、$\cos \frac{5\pi }{2}=0,\sin \frac{5\pi }{2}=1$ より $\mathbf{r}(5\pi /2)=\left(0,\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)$。よって
$${\int }_C\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=\left(0+\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\right)-0=\frac{35}{4}.$$

$\mathbf{H}$ の部分（回転は 0 だが $\Omega$ 上で保存場ではない）. $\mathrm{rot}\mathbf{H}$ の $z$ 成分は
$$\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}+\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}=0$$
で、他の成分も 0 なので $\mathrm{rot}\mathbf{H}=0$ である。しかし $\Omega$ は単連結でなく、たとえば単位円 $x^2+y^2=1,z=0$ を反時計回りに 1 周すると $\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}=2\pi \ne 0$ となるので、$\mathbf{H}$ は $\Omega$ 全体で定義されたポテンシャルをもたない（局所的には偏角 $\theta$ がポテンシャル）。そのため端点だけでは決まらず、$C$ が $z$ 軸のまわりを回る角度を追う必要がある。

直接計算する。$\rho (t)=1+\frac{t}{\pi }$ とおくと $x=\rho \cos t,y=\rho \sin t$ で
$$x^{\prime }={\rho }^{\prime }\cos t-\rho \sin t,y^{\prime }={\rho }^{\prime }\sin t+\rho \cos t.$$
よって
$$x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=\rho \cos t({\rho }^{\prime }\sin t+\rho \cos t)-\rho \sin t({\rho }^{\prime }\cos t-\rho \sin t)={\rho }^2,$$
$$\mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\frac{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}{x^2+y^2}=\frac{{\rho }^2}{{\rho }^2}=1.$$
したがって
$${\int }_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^{5\pi /2}1dt=\frac{5\pi }{2}.$$
（$C$ に沿って連続に選んだ偏角 $\theta =t$ が $0$ から $\frac{5\pi }{2}$ まで増えることと一致する。）

結論.
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{35}{4}+\frac{5\pi }{2}.$$

$\mathbf{F}=\nabla (x^{2}z+yz)+\frac{(-y,x,0)}{x^2+y^2}$ と分解できる（${\partial }_x(x^{2}z)=2xz$、${\partial }_y(yz)=z$、${\partial }_z(x^{2}z+yz)=x^2+y$）。第 2 項は極角 $\theta$ の勾配 $\nabla \theta$ で、${\int }_C\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\Delta \theta$（$C$ に沿って連続に変化する偏角の増分）。

$C$ では $(x,y)=\rho (t)(\cos t,\sin t)$ なので偏角は $\theta =t$ で、増分は $\frac{5\pi }{2}-0=\frac{5\pi }{2}$（$\rho =1+t/\pi >0$ なので $z$ 軸を通らない）。

$\varphi =x^{2}z+yz$ の差: 始点 $t=0$ は $(1,0,0)$ で $\varphi =0$。終点 $t=5\pi /2$ は $\rho =\frac{7}{2}$ より $(0,\frac{7}{2},\frac{5}{2})$ で $\varphi =\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{35}{4}$。

よって ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{35}{4}+\frac{5\pi }{2}$。

検算: 偏角の項を直接計算すると $\frac{-y\dot{x}+x\dot{y}}{x^2+y^2}={\rho }^2\dot{\theta }/{\rho }^2=1$ なので ${\int }_0^{5\pi /2}dt=\frac{5\pi }{2}$。