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ベクトル解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学ベクトル解析

$x y$ 平面から原点を除いた領域 $D = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ 上のベクトル場
$F (x, y) = (\frac{x - y}{x ^{2} + y ^{2}} + 2 x y, \frac{x + y}{x ^{2} + y ^{2}} + x^{2})$
と、媒介変数表示
$C : (x, y) = ((1 + t) cos \frac{8 π t}{3}, (1 + t) sin \frac{8 π t}{3}) (0 \leq t \leq 1)$
で与えられる曲線 $C$ を考える。 $C$ は $t$ が増加する向きに向きづけられている。線積分
$I = \int_{C} F \cdot d r = \int_{C} {(\frac{x - y}{x ^{2} + y ^{2}} + 2 x y) d x + (\frac{x + y}{x ^{2} + y ^{2}} + x^{2}) d y}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

原点を除いた平面の場と偏角（説明と入口の問題）
保存場とポテンシャル（説明と入口の問題）
ベクトル場の線積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（77 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$F$ を、 $D$ 全体でポテンシャルをもつ部分と、原点のまわりを回る部分 $(\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})$ に分けてみよう。

ヒント 2

$(\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}) = \nabla (\frac{1}{2} lo g (x^{2} + y^{2}))$ 、 $(2 x y, x^{2}) = \nabla (x^{2} y)$ 。残りの部分は極座標で $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d θ$ となり、偏角の連続的な変化量を数えればよい。

ヒント 3

始点は $(1, 0)$ 、終点は $(- 1, 3)$ 。ポテンシャルをもつ部分の寄与は $lo g 2$ と $3$ になる。残りは $C$ に沿って偏角が $0$ からいくつまで増えるかを考える。

答えと解説

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lo g 2 + \frac{8 π}{3} + 3

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解説を読む

$F$ を 3 つの部分に分ける。
$F = F_{1} (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}) + F_{2} (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}) + F_{3} (2 x y, x^{2})$

$F_{1}$ と $F_{3}$ ： $F_{1} = \nabla (\frac{1}{2} lo g (x^{2} + y^{2}))$ 、 $F_{3} = \nabla (x^{2} y)$ であり、これらのポテンシャルは $D$ 全体で 1 価の $C^{1}$ 関数である。よって線積分は始点と終点でのポテンシャルの差で決まる。
始点（ $t = 0$ ）は $(1, 0)$ 、終点（ $t = 1$ ）は $(2 cos \frac{8 π}{3}, 2 sin \frac{8 π}{3}) = (- 1, 3)$ である。
$\int_{C} F_{1} \cdot d r = \frac{1}{2} lo g 4 - \frac{1}{2} lo g 1 = lo g 2,$
$\int_{C} F_{3} \cdot d r = (- 1)^{2} \cdot 3 - 1^{2} \cdot 0 = 3 .$

$F_{2}$ ： $F_{2}$ は $\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ を満たす（回転が 0）が、原点を囲む単位円上で 1 周積分すると $2 π \neq = 0$ となるので、 $D$ 上で 1 価のポテンシャルをもたない。そこで曲線上で直接計算する。
極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ とすると
$d x = cos θ d r - r sin θ d θ, d y = sin θ d r + r cos θ d θ$
より
$- y d x + x d y = r^{2} d θ$
である。 $C$ 上では $r = 1 + t > 0$ 、 $θ = \frac{8 π t}{3}$ と連続に選べるので
$\int_{C} F_{2} \cdot d r = \int_{C} \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{r ^{2}}{r ^{2}} \cdot \frac{8 π}{3} d t = \frac{8 π}{3} .$
これは $C$ に沿った偏角の連続的な増加量 $\frac{8 π}{3}$ に等しい（終点 $(- 1, 3)$ の偏角 $\frac{2 π}{3}$ ではないことに注意）。

以上を合わせて
$I = lo g 2 + \frac{8 π}{3} + 3 .$

別解

$F$ を3つの部分に分けると
$F \cdot d r = \frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} + d (x^{2} y)$
となる。ここで $2 x y d x + x^{2} d y = d (x^{2} y)$ である。

極座標 $(r, θ)$ を用いると、第1項は $d (lo g r)$ 、第2項は $d θ$ に等しい。曲線 $C$ では $r = 1 + t$ 、 $θ = 8 π t /3$ であり、 $θ$ は連続に $0$ から $8 π /3$ まで変化する。

始点は $t = 0$ で $(1, 0)$ 、終点は $t = 1$ で $2 (cos \frac{8 π}{3}, sin \frac{8 π}{3}) = (- 1, 3)$ である。

$lo g r$ の変化量は $lo g 2 - lo g 1 = lo g 2$
$θ$ の変化量は $8 π /3$
$x^{2} y$ の変化量は $1 \cdot 3 - 0 = 3$

よって $I = lo g 2 + \frac{8 π}{3} + 3$ 。

検算： $d θ$ の積分は、曲線が原点のまわりを $θ$ が $8 π /3$ 増えるように回ることから $8 π /3$ となり、上の結果と一致する。

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