原点を除いた平面の場と偏角

$\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ が偏角 $θ$ の変化を表すことと、 $\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d (lo g r)$ を使い、原点のまわりを回る曲線に沿った線積分を始点・終点の $r$ と偏角の変化から求められる

前提

保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
極座標（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
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極座標（数学C 平面上の曲線）

説明

原点を除いた平面で定義された $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ や $\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ の形を含むベクトル場の線積分を、曲線を細かく追わずに求められるようになります。前者は偏角 $θ$ の微小な変化 $d θ$ 、後者は $d (lo g r)$ と一致します。そのため線積分の値は「始点と終点の $r$ 」と「曲線に沿って偏角が合計いくら回ったか」だけで決まります。渦のまわりの流れや、直線電流のまわりの磁場のような、原点に特異点をもつ場を扱う場面で使います。

なぜそうしてよいのか

極座標 $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ の全微分をとると $d x = cos θ d r - r sin θ d θ$ , $d y = sin θ d r + r cos θ d θ$ です。これを代入して $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使うと、 $x d x + y d y = r d r$ と $- y d x + x d y = r^{2} d θ$ が得られます。両辺を $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ （原点以外なので $r > 0$ で、0 で割らない）で割ると、 $\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{d r}{r} = d (lo g r), \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d θ$ となります。

$lo g r = \frac{1}{2} lo g (x^{2} + y^{2})$ は原点以外の平面全体で 1 つの値に決まる関数です。したがって前者は本当のポテンシャルをもちます。線積分は $lo g r_{B} - lo g r_{A}$ で、途中の経路によりません。

後者の場 $F = (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})$ の回転を計算すると $\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} + \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = 0$ です。ところが $θ$ は原点のまわりを 1 周すると $2 π$ 増えてしまい、平面全体で 1 つの値に決まる関数にはなりません。そこで曲線に沿って偏角を連続的に追いかけ、その増え方を足し合わせます。こうすると、線積分は「偏角の合計の変化量 $Δ θ$ 」（反時計回りを正とし、周回の分も含める）になります。例えば単位円を反時計回りに 1 周すると $2 π$ で、0 にはなりません。

手順

曲線 $C$ が原点を通らないことを確かめる。
被積分式 $P d x + Q d y$ を $a \frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} + b \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ の形に分ける（分子の $x d x, y d x, x d y, y d y$ の係数を比べて $a, b$ を決める）。
始点と終点の原点からの距離 $r_{A}, r_{B}$ を求め、前半の部分を $a lo g \frac{r _{B}}{r _{A}}$ と計算する。
曲線に沿って偏角を連続的に追い、合計の変化量 $Δ θ$ を求める。反時計回りを正とし、原点のまわりを回った周回の分も含める。
2 つを足して $\int_{C} F \cdot d r = a lo g \frac{r _{B}}{r _{A}} + b Δ θ$ とする。

例題

ベクトル場 $F = (\frac{2 x - 3 y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{3 x + 2 y}{x ^{2} + y ^{2}})$ と、曲線 $C : x = (1 + t) cos (π t), y = (1 + t) sin (π t) (0 \leq t \leq \frac{5}{2})$ について、線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $C$ 上で $r = x^{2} + y^{2} = 1 + t \geq 1$ なので、 $C$ は原点を通らない。

手順2: 分子を $(2 x - 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 2 (x d x + y d y) + 3 (- y d x + x d y)$ と分ける。よって $a = 2$ , $b = 3$ である。

手順3: 始点は $t = 0$ で $r_{A} = 1$ 、終点は $t = \frac{5}{2}$ で $r_{B} = \frac{7}{2}$ である。したがって前半の部分は $2 lo g \frac{7/2}{1} = 2 lo g \frac{7}{2}$ となる。

手順4: 偏角は $θ = π t$ として $t$ とともに連続に増える。 $t : 0 \to \frac{5}{2}$ で $θ : 0 \to \frac{5 π}{2}$ なので、 $Δ θ = \frac{5 π}{2}$ である（1 周と 4 分の 1 周）。

手順5: $\int_{C} F \cdot d r = 2 lo g \frac{7}{2} + 3 \cdot \frac{5 π}{2} = 2 lo g \frac{7}{2} + \frac{15 π}{2}$ となる。

答え: $2 lo g \frac{7}{2} + \frac{15 π}{2}$

よくある誤り

偏角の変化を、始点と終点の位置だけから決めてしまう誤り。例題で終点 $(0, \frac{7}{2})$ の偏角だけを見て $Δ θ = \frac{π}{2}$ とすると、1 周分の $2 π$ が抜けます。正しくは、曲線に沿って連続に追った $Δ θ = \frac{5 π}{2}$ を使います。
回転が $0$ だから閉曲線に沿った線積分も $0$ になる、としてしまう誤り。 $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ は原点を除いた平面全体でのポテンシャルをもちません。単位円を反時計回りに 1 周すると $\oint \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = 2 π \neq = 0$ です。原点を囲まない閉曲線なら $Δ θ = 0$ になります。
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ を $d lo g (x^{2} + y^{2})$ としてしまう誤り。 $d lo g (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 ( x d x + y d y )}{x ^{2} + y ^{2}}$ なので 2 倍ずれます。正しくは $\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{2} d lo g (x^{2} + y^{2}) = d (lo g r)$ です。
時計回りに回る曲線でも $Δ θ$ を正としてしまう誤り。時計回りに 1 周すれば $Δ θ = - 2 π$ で、 $\int \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = - 2 π$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算（大学院数学微分トポロジー・特性類）