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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y$ 平面から原点を除いた領域 $D = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ 上で、曲線 $C$ を
$r (t) = ((2 + t) cos \frac{3 π t}{2}, (2 + t) sin \frac{3 π t}{2}) (0 \leq t \leq 1)$
で定め、 $t$ が増える向きに進むものとする。このとき、線積分
$I = \int_{C} \frac{( 2 x - 3 y ) d x + ( 3 x + 2 y ) d y}{x ^{2} + y ^{2}}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

原点を除いた平面の場と偏角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（77 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「原点を除いた平面の場と偏角」の技能を使います。被積分式を $\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ と $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ の組み合わせで表してみましょう。

ヒント 2

$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d (lo g r)$ 、 $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d θ$ です。分子は $2 (x d x + y d y) + 3 (- y d x + x d y)$ と分けられます。

ヒント 3

$I = 2 (lo g r_{終} - lo g r_{始}) + 3 (θ の変化量)$ です。曲線上で $r = 2 + t$ 、 $θ = \frac{3 π t}{2}$ なので、 $r$ は $2$ から $3$ へ、 $θ$ は $0$ から連続的に増えていきます。

答えと解説

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2 lo g \frac{3}{2} + \frac{9 π}{2}

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解説を読む

方針被積分式を、 $lo g r$ の変化を表す部分と偏角 $θ$ の変化を表す部分に分ける。

1. 分解 分子を整理すると
$(2 x - 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 2 (x d x + y d y) + 3 (- y d x + x d y)$
なので
$I = 2 \int_{C} \frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} + 3 \int_{C} \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} .$

2. それぞれの意味 $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ とおくと
$d x = cos θ d r - r sin θ d θ, d y = sin θ d r + r cos θ d θ$
より
$x d x + y d y = r d r, - y d x + x d y = r^{2} d θ .$
よって
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{d r}{r} = d (lo g r), \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = d θ .$
したがって、第1項は始点と終点の $lo g r$ の差、第2項は曲線に沿って連続的に追った偏角の変化量で決まる。

3. 始点・終点の $r$ と偏角の変化 曲線上では $r = 2 + t$ , $θ = \frac{3 π t}{2}$ であり、 $t$ が $0$ から $1$ まで増えると
- $r$ は $2$ から $3$ へ変わる（始点 $(2, 0)$ 、終点 $(0, - 3)$ ）
- $θ$ は $0$ から $\frac{3 π}{2}$ まで連続的に増える（原点のまわりを反時計回りに $\frac{3}{4}$ 周する）

したがって
$\int_{C} \frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = lo g 3 - lo g 2 = lo g \frac{3}{2}, \int_{C} \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{3 π}{2} - 0 = \frac{3 π}{2} .$

4. まとめ
$I = 2 lo g \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{3 π}{2} = 2 lo g \frac{3}{2} + \frac{9 π}{2} .$

（確認）直接計算しても、 $r (t)$ を代入すると被積分関数は $\frac{2}{2 + t} + \frac{9 π}{2}$ となり、 $\int_{0}^{1} (\frac{2}{2 + t} + \frac{9 π}{2}) d t = 2 lo g \frac{3}{2} + \frac{9 π}{2}$ となって一致する。

別解

極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ を用いる。

$(2 x - 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 2 (x d x + y d y) + 3 (x d y - y d x)$ と変形する。

$x d x + y d y = r d r$ 、 $x d y - y d x = r^{2} d θ$ であるから、被積分形式は
$\frac{2 r d r + 3 r ^{2} d θ}{r ^{2}} = \frac{2 d r}{r} + 3 d θ$
となる。

曲線 $C$ 上では $r = 2 + t, θ = \frac{3 π t}{2}$ である。 $t = 0 \to 1$ で $r$ は $2 \to 3$ 、 $θ$ は $0 \to \frac{3 π}{2}$ と連続に変化する。

したがって
$I = 2 \int_{2}^{3} \frac{d r}{r} + 3 \cdot \frac{3 π}{2} = 2 lo g \frac{3}{2} + \frac{9 π}{2} .$

検算： $θ$ の部分は閉じていない曲線上の積分であり、 $θ$ を連続にとる。始点は $(2, 0)$ 、終点は $(3 cos \frac{3 π}{2}, 3 sin \frac{3 π}{2}) = (0, - 3)$ である。 $θ$ の増加分は、連続な偏角の変化 $\frac{3 π}{2}$ に一致する。

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