ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算

閉形式を完全形式で割った商 $H_{dR}^{k} (M) = ker d / Im d$ を扱える。ポアンカレの補題とホモトピー不変性を使って、 $R^{n}$ ・ $S^{1}$ ・ $R^{2} ∖ {0}$ などのベッチ数 $b_{k} = dim H_{dR}^{k}$ を求められる（例: $\frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ が $H^{1} (R^{2} ∖ {0})$ を生成することを、単位円上の積分 $2 π$ から確かめる）

前提

原点を除いた平面の場と偏角（大学数学ベクトル解析）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
微分形式の外積と外微分（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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微分形式の外積と外微分（大学院数学微分幾何）

説明

ド・ラーム・コホモロジーは、多様体 $M$ 上の「閉形式（ $d ω = 0$ ）だが完全形式（ $ω = d η$ ）ではないもの」がどれだけあるかを、ベクトル空間 $H_{dR}^{k} (M) = ker d / Im d$ の次元（ベッチ数 $b_{k}$ ）として数える道具です。 $M$ に「穴」があると、局所的には $d$ をとって $0$ になるのに大域的な原始関数をもたない形式が現れ、その個数が $b_{k}$ に表れます。 $R^{n}$ ・ $S^{1}$ ・ $R^{2} ∖ {0}$ のような基本的な空間のベッチ数を求めたり、与えられた閉形式がどのコホモロジー類に属するか（どの代表元と完全形式の差しかないか）を判定したりする場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$M$ 上の滑らかな $k$ 次微分形式全体を $Ω^{k} (M)$ とし、外微分 $d : Ω^{k} (M) \to Ω^{k + 1} (M)$ を考えます（ $Ω^{- 1} (M) = 0$ とする）。 $d$ は線形写像なので核 $Z^{k} = ker (d : Ω^{k} \to Ω^{k + 1})$ （閉形式全体）と像 $B^{k} = Im (d : Ω^{k - 1} \to Ω^{k})$ （完全形式全体）はどちらも部分空間で、 $d (d η) = 0$ より $B^{k} \subset Z^{k}$ です。そこで商空間 $H_{dR}^{k} (M) = Z^{k} / B^{k}$ を作ります。これは「閉形式を、完全形式の差を無視して同じとみなしたもの」で、 $ω$ の類を $[ω]$ と書きます。 $k = 0$ では $B^{0} = 0$ なので $H_{dR}^{0} (M)$ は $df = 0$ となる関数、すなわち各連結成分で定数の関数全体であり、 $b_{0}$ は連結成分の個数です。

計算の柱は 2 つです。(1) ポアンカレの補題: $R^{n}$ （より一般に星形の開集合）では $k \geq 1$ の閉形式はすべて完全形式で、 $H_{dR}^{k} (R^{n}) = 0$ （ $k \geq 1$ ）、 $H^{0} = R$ 。これは「渦なしのベクトル場はポテンシャルをもつ」ことの一般化で、 $1$ 形式なら原点から線分に沿って積分した $f (p) = \int_{0}^{1} ω_{tp} (p) d t$ が原始関数になります。(2) ホモトピー不変性: $M$ と $N$ がホモトピー同値なら $H_{dR}^{k} (M) ≅ H_{dR}^{k} (N)$ 。たとえば $R^{2} ∖ {0}$ は半径方向に縮めて単位円 $S^{1}$ に変形できるので、両者のコホモロジーは同じです。

$S^{1}$ は直接計算できます。 $S^{1}$ 上の $1$ 形式は角度 $θ$ を使って $g (θ) d θ$ （ $g$ は周期 $2 π$ ）と書け、 $2$ 形式は $0$ なのですべて閉です。これが $df$ （ $f$ は周期関数）となるのは $f (θ) = f (0) + \int_{0}^{θ} g$ が周期的なとき、つまり $\int_{0}^{2 π} g d θ = 0$ のときに限ります。よって積分 $ω \mapsto \oint_{S^{1}} ω$ は $H_{dR}^{1} (S^{1}) \to R$ の全射線形写像で、核がちょうど $0$ なので同型、 $b_{1} (S^{1}) = 1$ です。 $R^{2} ∖ {0}$ では、 $ω_{0} = \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ （偏角の変化 $d θ$ ）が閉で、単位円上の積分が $2 π \neq = 0$ です。完全形式 $df$ の閉曲線上の積分は $f$ (終点) $- f$ (始点) $= 0$ なので $ω_{0}$ は完全でなく $[ω_{0}] \neq = 0$ 。 $b_{1} = 1$ なので $[ω_{0}]$ が $H^{1}$ を生成し、任意の閉 $1$ 形式 $ω$ について $c = \frac{1}{2 π} \oint_{∣ z ∣ = 1} ω$ とおけば $ω - c ω_{0}$ は完全形式になります（積分写像 $H^{1} \to R$ は $1$ 次元空間から $R$ への $0$ でない線形写像なので、次元定理から核は $0$ ）。

手順

$M$ の連結成分を数えて $b_{0}$ を決める（連結なら $b_{0} = 1$ ）。 $k > dim M$ では $Ω^{k} (M) = 0$ なので $b_{k} = 0$
ホモトピー不変性で、 $M$ をより簡単な空間に取りかえる（例: $R^{n}$ や星形の開集合は $1$ 点、 $R^{2} ∖ {0}$ は $S^{1}$ ）
ポアンカレの補題や $S^{1}$ の計算を使って $b_{k} = dim H_{dR}^{k}$ を求める: $H^{k} (R^{n}) = 0 (k \geq 1)$ 、 $b_{0} (S^{1}) = b_{1} (S^{1}) = 1$
与えられた形式 $ω$ が閉であること $d ω = 0$ を確かめる（閉でなければコホモロジー類をもたない）
$H^{1}$ の類を調べるときは、生成元 $ω_{0}$ と積分 $\oint ω_{0} \neq = 0$ の閉曲線をとり、 $c = \oint ω / \oint ω_{0}$ を計算して $[ω] = c [ω_{0}]$ とする。 $c = 0$ なら $ω$ は完全形式

例題

$M = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ 上の $1$ 形式
$ω = \frac{( 2 x - 5 y ) d x + ( 5 x + 2 y ) d y}{x ^{2} + y ^{2}}, ω_{0} = \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$
を考える。 $ω - c ω_{0}$ が $M$ 上の完全形式となる実数 $c$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1〜3） $M$ は連結で $S^{1}$ にホモトピー同値なので $b_{1} (M) = 1$ であり、 $ω_{0}$ は閉で単位円上の積分が $2 π \neq = 0$ だから $[ω_{0}]$ が $H_{dR}^{1} (M)$ を生成する。

（手順 4） $ω$ を分解すると
$ω = 2 \cdot \frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} + 5 \cdot \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = 2 d (lo g r) + 5 ω_{0} (r = x^{2} + y^{2}) .$
$d (d lo g r) = 0$ 、 $d ω_{0} = 0$ なので $d ω = 0$ 、すなわち $ω$ は閉形式である。

（手順 5）単位円 $x = cos t, y = sin t (0 \leq t \leq 2 π)$ に沿って積分する。 $d (lo g r)$ は完全形式なので、閉曲線上の積分は $0$ （実際、単位円上で $r$ は一定）。 $ω_{0}$ の積分は偏角の変化で $2 π$ 。よって
$\oint ω = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 π = 10 π, c = \frac{\oint ω}{\oint ω _{0}} = \frac{10 π}{2 π} = 5.$
実際 $ω - 5 ω_{0} = d (2 lo g r) = d (lo g (x^{2} + y^{2}))$ は $M$ 上の完全形式である。逆に $c \neq = 5$ なら $ω - c ω_{0}$ の単位円上の積分は $(5 - c) \cdot 2 π \neq = 0$ なので完全形式でない。したがって $c = 5$ 。

答え: $5$

よくある誤り

閉形式ならいつでも完全形式だとしてしまう誤り。ポアンカレの補題は $R^{n}$ や星形の領域での主張で、 $R^{2} ∖ {0}$ では $ω_{0} = \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ は $d ω_{0} = 0$ でも完全でない（単位円上の積分が $2 π \neq = 0$ ）
$ω_{0} = d θ$ と書けるので完全形式だとしてしまう誤り。偏角 $θ$ は $R^{2} ∖ {0}$ 全体では $1$ 価の滑らかな関数にならない（一周で $2 π$ ずれる）ので、 $d θ$ は局所的な表記にすぎない。正しくは $[ω_{0}] \neq = 0$
$H_{dR}^{0} (M) = 0$ としてしまう誤り。 $0$ 次では割る完全形式がなく、 $H^{0}$ は局所定数関数の空間なので $b_{0}$ は連結成分の個数（ $R^{n}$ でも $b_{0} = 1$ ）。たとえば $R ∖ {0}$ では $b_{0} = 2$
$H^{k}$ を閉形式全体の空間 $ker d$ そのものの次元と取り違える誤り。 $ker d$ は無限次元（ $df$ の形のものが無数にある）で、正しくは完全形式で割った商 $ker d / Im d$ の次元を数える。例: $S^{1}$ では閉 $1$ 形式は無数にあるが $b_{1} (S^{1}) = 1$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$M = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ とし、 $M$ 上の $1$ 次微分形式
$ω = \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}, η = \frac{( x - 3 y ) d x + ( 3 x + y ) d y}{x ^{2} + y ^{2}}$
を考える。 $H_{dR}^{1} (M)$ は $1$ 次元で、閉形式 $ω$ のコホモロジー類 $[ω]$ で生成されることが知られている。 $η$ は閉形式であり、ある実数 $c$ を用いて $H_{dR}^{1} (M)$ において $[η] = c [ω]$ と表される。この実数 $c$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

マイヤー・ヴィートリス完全系列（大学院数学微分トポロジー・特性類）
自由な有限群作用の商のコホモロジー（大学院数学微分トポロジー・特性類）