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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

$Σ_{2}$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（ $C^{\infty}$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_{1}, p_{2} \in Σ_{2}$ を除いた開曲面を $S = Σ_{2} ∖ {p_{1}, p_{2}}$ とする。 $RP^{2}$ を実射影平面、 $S^{1}$ を円周として、 $5$ 次元多様体 $M = S \times RP^{2} \times S^{1}$ を考える。 $M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{d R}^{2} (M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{c}^{2} (M)$ の次元を、この順に組 $(dim H_{d R}^{2} (M), dim H_{c}^{2} (M))$ として求めよ。

この問題で使うもの

ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算（説明と入口の問題）
自由な有限群作用の商のコホモロジー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ド・ラーム・コホモロジーとコンパクト台コホモロジーのそれぞれについてキュネットの公式を使い、各因子のポアンカレ多項式を掛け合わせる。

ヒント 2

$S$ は $5$ 本の円周のブーケとホモトピー同値で、向き付け可能なので $H_{c}^{k} (S) ≅ H_{d R}^{2 - k} (S)^{*}$ 。 $RP^{2}$ は向き付け不可能で、実係数のド・ラーム・コホモロジーは $H^{0}$ だけである。

ヒント 3

$P_{S} (t) = 1 + 5 t$ , $P_{c, S} (t) = 5 t + t^{2}$ , $P_{RP^{2}} = 1$ , $P_{S^{1}} = 1 + t$ 。 $M$ のポアンカレ多項式はこれらの積で、 $M$ は向き付け不可能なのでポアンカレ双対性は使えない。

答えと解説

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(5, 6)

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解説を読む

ポアンカレ多項式 $P (t) = \sum_{k} dim H_{d R}^{k} t^{k}$ 、コンパクト台版 $P_{c} (t) = \sum_{k} dim H_{c}^{k} t^{k}$ を用いる。各因子は有限な良い被覆をもつので、どちらのコホモロジーについてもキュネットの公式が成り立ち、積の多項式は各因子の多項式の積になる。

$S$ の場合. $Σ_{2}$ から $2$ 点を除いた曲面は、 $1$ 点のまわりで $4 g$ 角形の貼り合わせを考えると $2 g + (2 - 1) = 5$ 本の円周のブーケにホモトピー同値である（オイラー標数 $2 - 2 g - 2 = - 4 = 1 - 5$ とも整合）。よって
$H_{d R}^{0} (S) = R, dim H_{d R}^{1} (S) = 5, H_{d R}^{2} (S) = 0, P_{S} (t) = 1 + 5 t .$
$S$ は向き付け可能な $2$ 次元多様体なので、ポアンカレ双対性 $H_{c}^{k} (S) ≅ H_{d R}^{2 - k} (S)^{*}$ より
$P_{c, S} (t) = 5 t + t^{2} .$

$RP^{2}$ の場合. $RP^{2}$ はコンパクトなので $H_{c}^{*} = H_{d R}^{*}$ 。二重被覆 $S^{2} \to RP^{2}$ に関して、 $RP^{2}$ の閉形式は対蹠写像 $a$ で不変な $S^{2}$ 上の形式に対応する。 $a$ は向きを反転するので $a^{*}$ は $H_{d R}^{2} (S^{2})$ に $- 1$ で作用し、不変部分は $0$ 。したがって
$P_{RP^{2}} (t) = P_{c, RP^{2}} (t) = 1.$

$S^{1}$ の場合. コンパクトで $P (t) = P_{c} (t) = 1 + t$ 。

積.
$P_{M} (t) = (1 + 5 t) \cdot 1 \cdot (1 + t) = 1 + 6 t + 5 t^{2},$
$P_{c, M} (t) = (5 t + t^{2}) \cdot 1 \cdot (1 + t) = 5 t + 6 t^{2} + t^{3} .$
よって $dim H_{d R}^{2} (M) = 5$ , $dim H_{c}^{2} (M) = 6$ 。

（注意: $M$ は $RP^{2}$ 因子のため向き付け不可能で、ポアンカレ双対性 $H_{c}^{2} (M) ≅ H_{d R}^{3} (M)^{*}$ は成り立たない。実際 $H_{d R}^{3} (M) = 0$ だが $dim H_{c}^{2} (M) = 6$ である。）

答えは $(5, 6)$ 。

別解

各因子のコホモロジーを求め、キュネットの公式を使う（各因子は有限な良い被覆をもつので、通常のコホモロジー・コンパクト台コホモロジーともにキュネットの公式が成り立つ）。

$S = Σ_{2} ∖ {p_{1}, p_{2}}$ : $S$ は $2 g + (2 - 1) = 5$ 個の円周の一点和にホモトピー同値なので $H_{d R}^{0} (S) = R$ 、 $H_{d R}^{1} (S) = R^{5}$ 、 $H_{d R}^{2} (S) = 0$ 。
$S$ は向き付け可能なのでポアンカレ双対性 $H_{c}^{k} (S) ≅ H_{d R}^{2 - k} (S)^{*}$ より $dim H_{c}^{0} (S) = 0$ 、 $dim H_{c}^{1} (S) = 5$ 、 $dim H_{c}^{2} (S) = 1$ 。（検算: 完全列 $0 \to H_{c}^{0} (S) \to H^{0} (Σ_{2}) \to H^{0} ({p_{1}, p_{2}}) \to H_{c}^{1} (S) \to H^{1} (Σ_{2}) \to 0$ から $dim H_{c}^{1} (S) = 4 + (2 - 1) = 5$ 。）

$RP^{2}$ : 実係数では $H^{0} = R$ 、 $H^{1} = H^{2} = 0$ （向き付け不可能で $H_{d R}^{2} = 0$ 、 $π_{1} = Z /2$ より $H_{d R}^{1} = 0$ ）。コンパクトなので $H_{c}^{*} = H_{d R}^{*}$ 。

$S^{1}$ : $H^{0} = H^{1} = R$ 。コンパクトなので $H_{c}^{*} = H_{d R}^{*}$ 。

$H_{d R}^{2} (M)$ : $RP^{2}$ は $0$ 次しか寄与しないので
$H^{2} (M) ≅ H^{2} (S) \otimes H^{0} (S^{1}) \oplus H^{1} (S) \otimes H^{1} (S^{1}) = 0 \oplus R^{5},$
よって $dim H_{d R}^{2} (M) = 5$ 。

$H_{c}^{2} (M)$ : 同様に
$H_{c}^{2} (M) ≅ H_{c}^{2} (S) \otimes H^{0} (S^{1}) \oplus H_{c}^{1} (S) \otimes H^{1} (S^{1}) \oplus H_{c}^{0} (S) \otimes H^{2} (S^{1}) = R \oplus R^{5} \oplus 0,$
よって $dim H_{c}^{2} (M) = 6$ 。

（注: $M$ は向き付け不可能なので、 $H_{c}^{2} (M) ≅ H_{d R}^{3} (M)^{*}$ のようなポアンカレ双対性は使えない。実際 $dim H_{d R}^{3} (M) = 0$ で $6$ と一致しない。）

答え: $(5, 6)$

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