微分トポロジー・特性類の問題

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$（実 8 次元の閉多様体で、複素構造から定まる向きを入れる）の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とする。複素 $5\times 5$ 行列
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
を考え、${\mathbb{CP}}^4$ 上の $C^{\infty }$ 級（実）ベクトル場 $V$ を
$$V([z])={\frac{d}{dt}|}_{t=0}\left[e^{tA}z\right](z\in {\mathbb{C}}^5\setminus \{0\})$$
で定める。$V$ の零点はすべて孤立していることが知られている。点 $p=[0:0:0:1:0]$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p}V$ を求めよ。

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。

${\mathbb{C}}^4$ の完全旗多様体
$$X=\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^4)=\{(V_1,V_2,V_3)\mid V_1\subset V_2\subset V_3\subset {\mathbb{C}}^4,V_i\text{は}{\mathbb{C}}^4\text{の}i\text{次元複素部分空間}\}$$
を考える。$X$ は複素次元 $6$ のコンパクト複素多様体である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[X]\in H_{12}(X;\mathbb{Z})$ とする。$X$ の正則接束 $TX$ の第 1 チャーン類を $c_1=c_1(TX)\in H^2(X;\mathbb{Z})$ とするとき、カップ積の $6$ 乗の値
$$⟨c_1^6,[X]⟩$$
を求めよ。

${\mathbb{CP}}^2$ 上の正則ベクトル束 $E=\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(3)$（階数 $2$）を考える。$\pi :X=\mathbb{P}(E)\to {\mathbb{CP}}^2$ を $E$ の各ファイバー内の複素直線全体からなる射影束とする。$X$ は複素 $3$ 次元のコンパクト複素多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。$L\subset {\pi }^{\ast }E$ を $X$ 上のトートロジー直線部分束とし、
$$\zeta =-c_1(L)\in H^2(X;\mathbb{Z}),h={\pi }^{\ast }H\in H^2(X;\mathbb{Z})$$
とおく。ここで $H\in H^2({\mathbb{CP}}^2;\mathbb{Z})$ は超平面類（$⟨H^2,[{\mathbb{CP}}^2]⟩=1$）である。また、$X$ の正則接束 $TX$ について完全系列
$$0\to \mathrm{Hom}(L,{\pi }^{\ast }E/L)\to TX\to {\pi }^{\ast }T{\mathbb{CP}}^2\to 0$$
が成り立つことを用いてよい。$c_1(T{\mathbb{CP}}^2)=3H$ である。

このとき、カップ積 $c_1(TX{)}^3\in H^6(X;\mathbb{Z})$ の基本類上の値
$$⟨c_1(TX{)}^3,[X]⟩$$
を求めよ。

5 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4+z_5^4=0\}$$
とおく。$X$ は複素 4 次元（実 8 次元）の閉複素部分多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。

実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類を $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(\cdot ;\mathbb{Z})$ で定め、$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束とみる）について $p_i=p_i(TX)$ とおく。ポントリャーギン数 $p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩$ と $p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$ を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。