微分トポロジー・特性類の問題

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$S=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4=0\},X={\mathbb{CP}}^3\setminus S$$
とおく。$S$ は非特異な複素曲面であり、$X$ は実 6 次元の（コンパクトでない）$C^{\infty }$ 級多様体である。

$X$ のド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^k(X)$（実係数）の次元を $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{dR}^k(X)$ とし、ポアンカレ多項式を
$$P_X(t)=\sum _{k=0}^6{b}_k{t}^k$$
で定める。$P_X(t)$ を $t$ の多項式として求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とし、$F,G$ をそれぞれ複素係数の $3$ 次斉次多項式で、$$X=\{[z]\in {\mathbb{CP}}^4\mid F(z)=G(z)=0\}$$ が非特異な完全交叉複素曲面（実 $4$ 次元の閉多様体）となるものとする。$X$ に複素構造から定まる向きを入れ、交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張した対称双線形形式の正の固有値の個数を $b^{+}$、負の固有値の個数を $b^{-}$ とする。組 $(b^{+},b^{-})$ をこの順に求めよ。

$f(x,y,z)$ を複素係数の 8 次斉次多項式で、${\mathbb{CP}}^2$ 内の曲線 $B=\{[x:y:z]\in {\mathbb{CP}}^2\mid f(x,y,z)=0\}$ が非特異（滑らか）となるものとする。重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,1,4)$ の斉次座標を $[x:y:z:w]$（$w$ の重みが $4$）とし、
$$X=\{[x:y:z:w]\in \mathbb{P}(1,1,1,4)\mid w^2=f(x,y,z)\}$$
とおく。$X$ は非特異な複素曲面（実 4 次元の閉多様体）であり、射影 $\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2,[x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]$ は $B$ で分岐する 2 重分岐被覆である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れる。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したものの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。