チャーン類と超曲面の全チャーン類

次の 3 つを使って、射影空間やその積の中の超曲面の $c_{1} (T X)$ , $c_{2} (T X)$ と、チャーン数 $c_{2} [X] = χ (X)$ , $c_{1}^{2} [X]$ を求められる: 全チャーン類 $c (T CP^{n}) = (1 + h)^{n + 1}$ 、ホイットニーの和公式、随伴公式 $c (T X) = c (T M) ∣_{X} / (1 + [X])$

前提

コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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交叉形式と符号数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
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合成関数の微分（数学III 微分法）
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微分形式の積分とストークスの定理（大学院数学微分幾何）
コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

複素ベクトル束 $E$ （階数 $r$ ）には、コホモロジー類 $c_{i} (E) \in H^{2 i} (X; Z)$ の列であるチャーン類が定まり、全チャーン類 $c (E) = 1 + c_{1} (E) + \dots + c_{r} (E)$ にまとめて扱います。複素多様体 $X$ の接束 $T X$ のチャーン類を積分した数（チャーン数）は、 $X$ のオイラー標数 $χ (X) = c_{d i m X} [X]$ などの重要な不変量を与えます。射影空間やその積の中の超曲面 $X$ では、 $c (T CP^{n}) = (1 + h)^{n + 1}$ 、ホイットニーの和公式、随伴公式 $c (T X) = c (T M) ∣_{X} / (1 + [X])$ の 3 つだけで、 $c_{1} (T X)$ , $c_{2} (T X)$ と $c_{2} [X]$ , $c_{1}^{2} [X]$ を多項式の計算で求められます。

なぜそうしてよいのか

チャーン類について使う性質は次のとおりです。(i) 引き戻しと両立する: $c (f^{*} E) = f^{*} c (E)$ 。(ii) ホイットニーの和公式: $c (E \oplus F) = c (E) ⌣ c (F)$ 。(iii) 自明な束 $C^{k}$ では $c = 1$ 。(iv) $CP^{n}$ 上の直線束 $O (1)$ （超平面の方程式を切断にもつ束）では $c_{1} = h$ 、より一般に超曲面 $X$ を零点集合とする直線束 $O (X)$ では $c_{1} = PD [X]$ 。(v) 複素 $n$ 次元のコンパクト複素多様体では、最高次 $c_{n} (T X)$ はオイラー類で、 $\int_{X} c_{n} (T X) = χ (X)$ 。

$CP^{n}$ の接束: 点 $[v]$ （ $v \in C^{n + 1} ∖ {0}$ が張る直線 $ℓ$ ）での接空間は、 $ℓ$ を少し動かす方向全体で、線形写像 $ℓ \to C^{n + 1} / ℓ$ の空間 $Hom (ℓ, C^{n + 1} / ℓ)$ と同一視できます。 $Hom (ℓ, C^{n + 1}) = Hom (ℓ, C)^{\oplus (n + 1)} = O (1)^{\oplus (n + 1)}$ の中に $Hom (ℓ, ℓ) = C$ があり、その商が接束なので、（滑らかな束として分解して） $T CP^{n} \oplus C ≅ O (1)^{\oplus (n + 1)}$ 。ホイットニーの和公式から $c (T CP^{n}) = (1 + h)^{n + 1}$ が得られます。検算すると $\int_{CP^{1}} c_{1} = 2 = χ (S^{2})$ 、 $\int_{CP^{2}} c_{2} = (2 3) = 3 = χ (CP^{2})$ です。積 $M_{1} \times M_{2}$ では $T (M_{1} \times M_{2}) = p_{1}^{*} T M_{1} \oplus p_{2}^{*} T M_{2}$ なので、たとえば $c (T (CP^{1} \times CP^{2})) = (1 + a)^{2} (1 + b)^{3}$ です。

随伴公式: 超曲面 $X \subset M$ では、 $X$ 上で $T M ∣_{X}$ は $X$ に接する方向 $T X$ と法方向 $N_{X}$ に分かれ（滑らかな束として $T M ∣_{X} ≅ T X \oplus N_{X}$ ）、法束は $N_{X} ≅ O (X) ∣_{X}$ で $c (N_{X}) = 1 + [X] ∣_{X}$ です（ $[X] = PD [X]$ ）。ホイットニーの和公式から $c (T M) ∣_{X} = c (T X) (1 + [X])$ 。 $[X]$ は 2 次の類で高い次数では $0$ になるので、 $1 + [X]$ は $1 - [X] + [X]^{2} - \dots$ （有限和）を逆元にもち、 $c (T X) = c (T M) ∣_{X} (1 - [X] + [X]^{2} - \dots)$ と割り算できます。最後に $X$ 上の積分は $\int_{X} ω = \int_{M} ω ⌣ [X]$ で $M$ の計算に戻します。

手順

$c (T M)$ を書く: $CP^{n}$ なら $(1 + h)^{n + 1}$ 、積なら各因子の積（例: $CP^{1} \times CP^{2}$ で $(1 + a)^{2} (1 + b)^{3}$ ）
超曲面の類 $x = [X] = PD [X]$ を書く: 次数 $d$ なら $x = d h$ 、双次数 $(d, e)$ なら $x = d a + e b$
随伴公式 $c (T X) = c (T M) (1 - x + x^{2} - \dots)$ を、必要な次数（ $dim_{C} X$ まで）だけ展開する
次数ごとに分けて $c_{1} (T X)$ , $c_{2} (T X)$ を読み取る（必要なら $c_{1}^{2}$ も計算する）
チャーン数を $\int_{X} ω = \int_{M} ω ⌣ x$ で計算する。 $X$ が複素曲面なら $c_{2} [X] = χ (X)$ , $c_{1}^{2} [X]$

例題

$X \subset CP^{3}$ を次数 $5$ の滑らかな複素曲面（複素 2 次元）とし、 $h$ を超平面類とする。チャーン数の組 $(c_{1}^{2} [X], c_{2} [X])$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（ $c (T M)$ ）: $c (T CP^{3}) = (1 + h)^{4} = 1 + 4 h + 6 h^{2} + 4 h^{3}$ （ $h^{4} = 0$ ）。

手順 2（超曲面の類）: $x = [X] = 5 h$ 。

手順 3（随伴公式）: $X$ は複素 2 次元なので 2 次（ $h^{2}$ ）まで展開すれば足りる。
$c (T X) = (1 + 4 h + 6 h^{2} + \dots) (1 - 5 h + 25 h^{2} - \dots) .$

手順 4（次数ごと）:
$c_{1} (T X) = 4 h - 5 h = - h, c_{2} (T X) = 6 h^{2} - 20 h^{2} + 25 h^{2} = 11 h^{2} .$
また $c_{1} (T X)^{2} = h^{2}$ 。

手順 5（積分）: $\int_{X} h^{2} = \int_{CP^{3}} h^{2} ⌣ 5 h = 5$ なので
$c_{1}^{2} [X] = \int_{X} h^{2} = 5, c_{2} [X] = \int_{X} 11 h^{2} = 55.$
（ $c_{2} [X] = χ (X) = 55$ 。一般に次数 $d$ では $χ (X) = d (d^{2} - 4 d + 6)$ で、 $d = 5$ で $5 \cdot 11 = 55$ と一致する。）

したがって $(c_{1}^{2} [X], c_{2} [X]) = (5, 55)$ 。

答え: $(5, 55)$

よくある誤り

$1/ (1 + x)$ を $1 - x$ で打ち切ってしまう誤り。上の例で $c (T X) = (1 + 4 h + 6 h^{2}) (1 - 5 h)$ とすると $c_{2} = 6 h^{2} - 20 h^{2} = - 14 h^{2}$ になってしまう。正しくは $x^{2} = 25 h^{2}$ の項も入れて $c_{2} (T X) = 11 h^{2}$ 。
$X$ 上の積分で次数 $d$ の因子を忘れる誤り。 $c_{2} (T X) = 11 h^{2}$ から $c_{2} [X] = 11$ としてしまうが、正しくは $\int_{X} h^{2} = \int_{CP^{3}} h^{2} ⌣ 5 h = 5$ なので $c_{2} [X] = 55$ 。
$c (T CP^{n})$ を $(1 + h)^{n}$ としてしまう誤り。 $CP^{2}$ で $(1 + h)^{2}$ なら $c_{2} = h^{2}$ で $χ = 1$ となり矛盾する。正しくは $(1 + h)^{n + 1}$ で、 $c_{2} (T CP^{2}) = 3 h^{2}$ 、 $χ (CP^{2}) = 3$ 。
積多様体の全チャーン類を $(1 + a + b)^{n_{1} + n_{2} + 2}$ のようにまとめてしまう誤り。 $CP^{1} \times CP^{2}$ では正しくは $c = (1 + a)^{2} (1 + b)^{3}$ で、 $c_{1} = 2 a + 3 b$ （ $5 a + 5 b$ ではない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$M = CP^{1} \times CP^{1}$ とし、2 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_{0} : s_{1}]$ , $[t_{0} : t_{1}]$ とする。 $F$ を $(s_{0}, s_{1})$ について $3$ 次斉次、 $(t_{0}, t_{1})$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$X = {F = 0} \subset M$
は滑らかな連結な複素曲線（実 $2$ 次元の閉曲面）であるとする。 $M$ , $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。全チャーン類と随伴公式を用いて、チャーン数 $c_{1} [X] = \int_{X} c_{1} (T X)$ （これは $X$ のオイラー標数 $χ (X)$ に等しい）の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポントリャーギン類とヒルツェブルフの符号数定理（大学院数学微分トポロジー・特性類）