微分トポロジー・特性類の問題

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

$G=G_2({\mathbb{C}}^4)$ を ${\mathbb{C}}^4$ の複素 $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体とする。これは複素 $4$ 次元（実 $8$ 次元）の連結な閉複素多様体である。$G$ に複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[G]\in H_8(G;\mathbb{Z})$ とする。接束 $TG$ を実ベクトル束とみたときのポントリャーギン類を $p_i=p_i(TG)\in H^{4i}(G;\mathbb{Z})$ とする。ただし $p_i=(-1{)}^i{c}_{2i}(TG\otimes \mathbb{C})$ と定める。ポントリャーギン数 $⟨p_1^2,[G]⟩$ と $⟨p_2,[G]⟩$ を、この順に組で求めよ。

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。