微分トポロジー・特性類の問題

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

5 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4+z_5^4=0\}$$
とおく。$X$ は複素 4 次元（実 8 次元）の閉複素部分多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。

実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類を $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(\cdot ;\mathbb{Z})$ で定め、$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束とみる）について $p_i=p_i(TX)$ とおく。ポントリャーギン数 $p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩$ と $p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$ を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

直積多様体 $M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ を、複素構造（各因子の複素構造の直積）から定まる向きをもつ実 8 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$p_i=p_i(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb{Z})$ を（実）接束 $TM$ の第 $i$ ポントリャーギン類とし、ポントリャーギン数を
$$p_1^2[M]=⟨p_1^2,[M]⟩,p_2[M]=⟨p_2,[M]⟩$$
で定める（$[M]$ は上の向きに関する基本ホモロジー類）。ただしポントリャーギン類は、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める流儀に従う。

組 $(p_1^2[M],p_2[M])$ をこの順に求めよ。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

$d$ を正の整数とする。複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X_d=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0\}$$
とおく。$X_d$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X_d$ の符号数 $\sigma (X_d)$（$H^2(X_d;\mathbb{R})$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。