微分トポロジー・特性類の問題

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

${\mathbb{CP}}^2$ には複素構造から定まる向きを入れ、$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$$X={\mathbb{CP}}^2\#{\mathbb{CP}}^2\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える。$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^3$ の基底 $h_1,h_2,e$ を、$h_1,h_2$ はそれぞれ $1$ つ目・$2$ つ目の ${\mathbb{CP}}^2$ の複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ の類、$e$ は $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の ${\mathbb{CP}}^1$ の類としてとる。ホモロジー類
$$C=2h_1+h_2+3e$$
の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ を求めよ。ここで $Q_X$ は $X$ の交叉形式である。

5 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4+z_5^4=0\}$$
とおく。$X$ は複素 4 次元（実 8 次元）の閉複素部分多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。

実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類を $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(\cdot ;\mathbb{Z})$ で定め、$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束とみる）について $p_i=p_i(TX)$ とおく。ポントリャーギン数 $p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩$ と $p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$ を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。