交叉形式と符号数

向き付けられた閉 4 次元多様体の $H_{2}$ 上の交叉形式 $Q_{X}$ を行列で表せる。基本例（ $CP^{2}$ の $(1)$ 、 $CP^{2}$ の $(- 1)$ 、 $S^{2} \times S^{2}$ の $(0110)$ ）と、連結和で直和になることを使う。そこから自己交叉数 $Q_{X} (C, C)$ 、 $b_{2}^{\pm}$ 、符号数 $σ (X) = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ を求められる

前提

2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

説明

向き付けられた閉 4 次元多様体 $X$ では、2 次元のホモロジー類（曲面で代表される類） $a, b \in H_{2} (X; Z)$ どうしの「符号付き交点数」 $Q_{X} (a, b)$ が定まり、これは整数値の対称双線形形式になります。これが交叉形式で、 $H_{2}$ の基底をとれば整数成分の対称行列で表せます。この行列から曲面の自己交叉数 $Q_{X} (C, C)$ 、正・負の固有値の個数 $b_{2}^{+}, b_{2}^{-}$ 、符号数 $σ (X) = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ が計算でき、4 次元多様体を区別する基本的な不変量として使います。

なぜそうしてよいのか

$a, b$ を、互いに横断的に（各交点で接平面どうしが $4$ 次元の接空間全体を張るように）交わる向き付けられた閉曲面 $Σ_{a}, Σ_{b}$ で代表させます。各交点で「 $Σ_{a}$ の向きの基底 $2$ 本と $Σ_{b}$ の向きの基底 $2$ 本を並べたもの」が $X$ の向きと一致すれば $+ 1$ 、逆なら $- 1$ を数え、その合計を $Q_{X} (a, b)$ とします。曲面を連続的に動かしても交点が対で生まれたり消えたりするだけなので、合計は類 $a, b$ だけで決まります。2 次元どうしを並べるので $Σ_{b}, Σ_{a}$ の順にしても符号は $(- 1)^{2 \cdot 2} = 1$ 倍で変わらず、 $Q_{X}$ は対称です。自己交叉数 $Q_{X} (a, a)$ は $Σ_{a}$ を少しずらしたコピーとの交点数です。また（ここでは事実として認めますが）ポアンカレ双対性により、 $H_{2}$ のねじれを除いた部分の基底で表した行列 $M$ は $det M = \pm 1$ を満たします（ユニモジュラー）。

基本例は次のように理解できます。 $CP^{2}$ では $H_{2} = Z$ が直線 $L$ （ $CP^{1}$ ）で生成され、異なる 2 直線はちょうど 1 点で、複素構造から決まる向きに関して正に交わるので $Q = (1)$ 。向きを逆にした $CP^{2}$ では各交点の符号が反転して $Q = (- 1)$ 。 $S^{2} \times S^{2}$ では $A = [S^{2} \times {q}]$ 、 $B = [{q} \times S^{2}]$ が基底で、 $A$ と $B$ は 1 点 $(q, q)$ で交わり $Q (A, B) = 1$ 、 $S^{2} \times {q}$ は $S^{2} \times {q^{'}}$ （ $q^{'} \neq = q$ ）とずらせば交わらないので $Q (A, A) = Q (B, B) = 0$ 。よって $Q = H := (0110)$ 。連結和 $X # Y$ では、 $X, Y$ から小さな球体を除いて貼り合わせますが、曲面は球体を避けて置けるので $X$ 側の曲面と $Y$ 側の曲面は交わらず、 $Q_{X # Y} = Q_{X} \oplus Q_{Y}$ （ブロック対角）になります。

$Q_{X}$ を実数係数に広げると実対称行列なので、直交変換で対角化でき、正の固有値の個数 $b_{2}^{+}$ と負の固有値の個数 $b_{2}^{-}$ は基底のとり方によりません（2 次形式の標準形の符号）。ユニモジュラーなので固有値 $0$ はなく $b_{2} = b_{2}^{+} + b_{2}^{-}$ です。たとえば $H$ の固有値は $\pm 1$ なので $b_{2}^{+} = b_{2}^{-} = 1$ 、 $σ (S^{2} \times S^{2}) = 0$ 。直和では固有値が合併されるので、 $b_{2}^{\pm}$ と $σ$ は連結和で足し算になります。

手順

$X$ を基本ピース（ $CP^{2}$ 、 $CP^{2}$ 、 $S^{2} \times S^{2}$ など）の連結和に分解する
各ピースの交叉形式 $(1)$ 、 $(- 1)$ 、 $H = (0110)$ をブロック対角に並べて $Q_{X}$ の行列 $M$ を作る
自己交叉数は類を基底で $C = \sum c_{i} e_{i}$ と表し、 $Q_{X} (C, C) = c^{T} M c$ で計算する（例: $S^{2} \times S^{2}$ で $a A + b B$ なら $2 ab$ 、 $CP^{2}$ で $d L$ なら $d^{2}$ ）
$M$ の正・負の固有値の個数 $b_{2}^{+}, b_{2}^{-}$ を数える。ブロックごとに $(1) \to (1, 0)$ 、 $(- 1) \to (0, 1)$ 、 $H \to (1, 1)$ を足せばよい
符号数 $σ (X) = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ を計算する

例題

向き付けられた閉 4 次元多様体 $X = CP^{2} #4 CP^{2} #2 (S^{2} \times S^{2})$ の符号数 $σ (X)$ を求めよ。ここで $4 CP^{2}$ は $CP^{2}$ を 4 個、 $2 (S^{2} \times S^{2})$ は $S^{2} \times S^{2}$ を 2 個連結和したものを表す。

例題の解答

（手順 1） $X$ は $CP^{2}$ が 1 個、 $CP^{2}$ が 4 個、 $S^{2} \times S^{2}$ が 2 個の連結和である。

（手順 2）交叉形式は連結和で直和になるので
$Q_{X} = (1) \oplus (- 1)^{\oplus 4} \oplus H^{\oplus 2},$
すなわち対角に $1, - 1, - 1, - 1, - 1$ と $H$ のブロック 2 つが並んだ $9 \times 9$ 行列である（ $b_{2} = 9$ ）。

（手順 4） $(1)$ は正の固有値 1 個、 $(- 1)$ は負の固有値 1 個、 $H$ は固有値 $\pm 1$ で正負 1 個ずつを与える。よって
$b_{2}^{+} = 1 + 0 + 2 = 3, b_{2}^{-} = 0 + 4 + 2 = 6.$

（手順 5） $σ (X) = b_{2}^{+} - b_{2}^{-} = 3 - 6 = - 3$ 。

答え: $- 3$

よくある誤り

$H = (0110)$ の成分が $0$ 以上なので正定値だと考え、 $b_{2}^{+}$ に 2 を足してしまう誤り。 $H$ の固有値は $1, - 1$ で、たとえば $A - B$ の自己交叉数は $Q (A - B, A - B) = - 2 < 0$ 。正しくは $b_{2}^{+} = b_{2}^{-} = 1$ 、 $σ (S^{2} \times S^{2}) = 0$
$S^{2} \times S^{2}$ で $C = a A + b B$ の自己交叉数を $a^{2} + b^{2}$ としてしまう誤り。 $Q (A, A) = Q (B, B) = 0$ 、 $Q (A, B) = 1$ なので正しくは $Q (C, C) = 2 ab$ 。例: $C = A + B$ （対角）は $2$
$CP^{2}$ でも直線の自己交叉数を $+ 1$ としてしまう誤り。向きを逆にすると交点の符号がすべて反転するので、正しくは $Q = (- 1)$ 、 $σ (CP^{2}) = - 1$
$b_{2}$ と $σ$ が同じなら交叉形式も同じだとしてしまう誤り。 $CP^{2} # CP^{2}$ の $diag (1, - 1)$ と $S^{2} \times S^{2}$ の $H$ はどちらも $b_{2} = 2, σ = 0$ だが、 $diag (1, - 1)$ は $Q (e_{1}, e_{1}) = 1$ と奇数をとるのに対し、 $H$ では $Q (a A + b B, a A + b B) = 2 ab$ が常に偶数なので、整数上では基底変換で移り合わない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$CP^{2}$ には複素構造から定まる向きを入れ、 $CP^{2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$X = CP^{2} # CP^{2} # CP^{2}$
を考える。 $H_{2} (X; Z) ≅ Z^{3}$ の基底 $h_{1}, h_{2}, e$ を、 $h_{1}, h_{2}$ はそれぞれ $1$ つ目・ $2$ つ目の $CP^{2}$ の複素射影直線 $CP^{1}$ の類、 $e$ は $CP^{2}$ の $CP^{1}$ の類としてとる。ホモロジー類
$C = 2 h_{1} + h_{2} + 3 e$
の自己交叉数 $Q_{X} (C, C)$ を求めよ。ここで $Q_{X}$ は $X$ の交叉形式である。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）